Politopos en la cuarta dimensión

$ Esta última semana he recordado una conferencia a la que asistí hace unos años que me dejó bastante perplejo., la titulaban "Poliedros y politopos"; básicamente buscaban responder preguntas sobre politopos regulares en cualquier dimensión. Me sorprendió sobre todo el material gráfico que mostraron a la audiencia, hasta entonces me resultaba extraño pensar que se podía representar de forma tan natural figuras en dimensiones que ni siquiera podemos imaginar; todo esto complementado con experimentos sencillitos con papel y tijeras para ayudarnos a visual algunas explicaciones sin entrar en ecuaciones para las que aun no estábamos preparados (tampoco se si lo estoy ahora). La pregunta principal que intentaban responder era cuántas caras podría tener un politopo regular, y cuántos existen en cada dimensión. Curiosamente la pregunta tiene respuesta y demostración, aunque no escribo la entrada para mostrarla, sino más bien para detenerme un poco en las curiosidades que ya solamente presentan estas figuras en la cuarta dimensión, cosa que suele crear bastantes dolores de cabeza a la mayoría de la gente cuando intentan imaginarlo.$
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Primero que nada hay que entenderse bien. Todos conocemos el concepto de polígono, cualquier figura formada por 3 o mas segmentos (evidentemente rectos), es un polígono, cada lado tiene una longitud y forman angulos, si todos los lados son iguales y también los ángulos tenemos un polígono regular, con infinitos ejemplos conocidos: el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentagono... Claramente vemos que estos polígonos regulares pueden tener cuantos lados queramos a medida que nos aproximamos a la circunferencia, por lo tanto no merece la pena preocuparse por estos. El mismo concepto aplicado a los sólidos de 3 dimensiones (poliedros) toma resultados distintos. Un poliedro está formado por polígonos conectados en la tercera dimensión, los lados comunes pasan a formar las aristas, y cada polígono es una cara. Cuando el poliedro esta formado únicamente por polígonos regulares entonces tenemos un poliedro regular. Si bien es cierto que el límite para formar poliedros es nuestra imaginación, los poliedros regulares son solo 5, y no pueden haber más. Todo poliedro regular se somete al teorema de Euler: caras + vértices =  aristas + 2, por ejemplo el cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. De esta fórmula se llega a la demostración matemática de que solamente hay 5, pero para no aburrir a los pocos lectores que pueda tener, hay una explicación más simple con un poco de imaginación, o en su defecto papel y tijeras.

Sólidos platónicos

Para formar poliedros regulares hemos de partir de polígonos regulares. Para la primera forma tomamos tres triángulos, (con menos no hacemos nada), los colocamos en el plano y juntamos sus vértices. Vemos que queda hueco entre ellos. Pegado el vértice tenemos que juntar los lados para formar las aristas, para ello usamos la tercera dimensión; sin despegar el vértice bajamos los triángulos y hacemos coincidir las aristas, la forma del tetraedro ya es evidente, a falta de pegarle el cuarto triángulo en el hueco que se ha formado abajo. Podemos hacer exactamente lo mismo para formar el cubo juntando tres cuadrados por el vértice y aprovechando el hueco que queda entre ellos para descender en la tercera dimensión, para llenar el hueco usamos otra pieza igual y tenemos así sus 6 caras. Para el octaedro tenemos que usar 4 triángulos, pegandole la pieza de abajo tenemos 8 caras triangulares. Hacemos lo mismo con el pentágono y tenemos una pieza que tenemos que completar con 4 iguales a esa, 12 caras, el dodecaedro. Un caso similar pasa al usar 5 triángulos (todavía tenemos espacio entre ellos), 4 piezas forman el icosaedro, 20 caras. Ya tenemos los 5, y podemos imaginarnos el por qué no podemos formar más. Si intentamos usar 6 triángulos nos daríamos cuenta de que ya no nos queda espacio para bajar y juntar las aristas, ya están juntas en el plano. El ángulo interior del triángulo equilátero tiene 60º, si usamos 6 de esos llenamos los 360º. Lo mismo nos pasa si juntamos 4 cuadrados por el vértice, ángulos de 90º. Si lo intentamos con más pentágonos (108º) ni siquiera nos queda ángulo para juntar los 4, y sobra decir ya que 3 hexágonos no te permiten juntar ni el primer vértice. De esta forma se hace evidente que no hay posibilidades de formar más poliedros a partir de solamente polígonos regulares.
Estos 5 poliedros son los llamados Sólidos Platónicos. En Grecia pensaban que tenían propiedades místicas y asociaban a ellos los 4 elementos dejando la magnificencia del cosmos para el dodecaedro; los griegos casi veneraban al pentágono y sus propiedades. Años más tarde el atronomo Kepler llegó a afirmar que al encajar cada solido dentro del otro se obtenían las órbitas de los planetas alrededor del Sol, algo bastante descabellado pero nada se le puede reprochar a uno de los padres de esa ciencia. Por otro lado si algún lector está familiarizado con los juegos de rol habrá visto que son exactamente los dados empleados habitualmente. Los geometras suelen también estudiar los denominados poliedros semiregulares, formados por polígonos regulares pero no necesariamente todos iguales. Algunos los obtienen cortando estos 5, el más famoso de ellos es el llamado icosaedro truncado, y es famoso porque todos los fines de semana en todas partes del mundo hay 22 hombres persiguiendo y pateando uno.

Bueno pues es hora de dar el salto a la cuarta dimensión. Siguiendo el mismo razonamiento matemático no debería ser difícil de imaginar el proceso. Evidentemente el truquito de juntar los vértices ya no podemos usarlo, pero solamente hay que tener presente que se van a formar los politopos a partir de los sólidos platónicos. Un politopo viene a ser cualquier poliedro de más de tres dimensiones, yo sólo me voy a fijar en los de 4.

Mucho antes de que pudiéramos ver las representaciones tridimensionales que tenemos hoy hubo una mujer que fue capaz de estudiar los politopos en su mente, Alicia Boole Stott. Dicen que tenía una capacidad de abstracción impresionante, y era capaz de visualizar como nadie 4 dimensiones. Suyo es el concepto de politopo y junto con otros matemáticos de la epoca (ella era aficionada) desarrollaron una parte muy importante de la geometría n-dimensional. Empleaban varias técnicas para poder visualizar los politopos.
Nosotros podemos desarmar un cubo y estirarlo en una hoja de papel, de niños casi todos lo habremos hecho, esa forma plana del cubo es el desarrollo del cubo, y se puede hacer con cualquier sólido. Exactamente lo mismo se puede hacer con un politopo, se puede desdoblar para estirarlo en 3 dimensiones, el Cristo de Dali muestra lo que sería exactamente el desarrollo del hipercubo, se ve claramente que el hipercubo esta formado entonces por 8 cubos tridimensionales; plegados en la cuarta dimensión los 8 cubos estarían encajados perfectamente entre si sin atravesarse a si mismos ni deformarse, como necesariamente los tenemos que representar nosotros.
Otra técnica de estudio suele ser intersecar el politopo con un espacio tridimensional. Para hacernos una idea, sería como tomar un sólido, digamos una naranja y realizarle un corte transversal, sacando así un espacio plano circular, cada corte de 2 dimensiones es diferente y teniendo todos, o una parte relevante se puede deducir la forma de la naranja. Exactamente lo mismo puede hacerse con politopos de 4 dimensiones, con la diferencia de que el corte obtenido tiene tres dimensiones, y da lugar a algo con lo que podemos jugar.
Por último, y es una técnica muy empleada hoy para la visualización es la proyección tridimensional. Si nos imaginamos el esqueleto de un cubo y lo ponemos a la luz, proyectara una sombra sobre el papel, podemos dibujarla perfectamente, y seguramente todos lo hemos hecho alguna vez. Todos entendemos como es un cubo al dibujarlo, por nuestro conocimiento de las 3 dimensiones, pero ese cubo sobre el papel tiene 2 dimensiones. Deformamos los cuadrados de los que está formado para darle la perspectiva, objetivamente las lineas dibujadas se cruzan entre si, no forman ángulos rectos, pero no importa, sabemos lo que es. Si hacemos lo mismo con un politopo, éste arrojara una proyección (sombra) de 3 dimensiones. Ésta es quizás la forma que nos resulta más cómoda para imaginarlos.

6 son los politopos de 4 dimensiones, todos ellos compuestos de sólidos platónicos y polígonos regulares. A cada uno de ellos se le relaciona con el numero de celdas de las que está compuesto, cada celda se define como el politopo de dimensión anterior de los que está formado. Se hace esta convención para poder llevar la definición a cualquier dimensión.

Pentácoron

El pentácoron esta formado de triángulos y tetraedros (5 celdas) y es el politopo más simple en 4 dimensiones, cosa que se agradece, viendo la magnitud de sus hermanos mayores. En la animación se pueden apreciar los tetraedros, por supuesto deformes, tal y como pasa con el cubo dibujado.










El hipercubo o tesseracto es la evolución del cubo, formado por 8 de estos. Puede que sea el politopo más conocido, incluso hay varios monumentos en el mundo que imitan su forma. Puse una animación suya en una entrada anterior.

El hexadecacoron, también llamado 16-cell esta formado también por triángulos y tetraedros, aunque guarda también relación con el octaedro, aunque es algo más dificil de ver.

El Icositetracoron, o 24-cell es el único sin análogo tridimensional lo que le da una forma bastante curiosa, digamos que cuesta relacionarlo con algún solido conocido, se distinguen claramente los triángulos, aunque tambien se le relaciona con el cubo y el  octaedro.

El hecatonicosacoron (120-cell), el Saturno de los politopos, por lo grande más que nada, 120 celdas con forma de dodecaedro; relacionado también con el tetraedro Una delicia para los pitagóricos, y complicadisimo de seguir, pero con atención se distinguen los dodecaedros. Es quizás mi favorito.














El hexacosicoron (600-cell), el gigante. He de decir que la animación impresiona menos que otras que he visto. Esta formado por 600 tetraedros y 1200 triángulos, y a su vez se distinguen icosaedros de forma más indirecta, es quizás una relación similar a la del triángulo con el hexágono.








La demostración matemática de por qué solamente existen estos 6 no es complicada pero tampoco creo que interese, y tampoco dispongo de algún razonamiento como el de los ángulos, aunque sin duda podría existir un análogo. Curiosamente a partir de la cuarta dimensión los politopos regulares posibles son solo 3 en cada una de las dimensiones mayores a 4. Todos estos politopos proyectados en 3 dimensiones también se pueden proyectar en dos, si colocas todos sus vértices en el papel puedes unir todos como corresponde si sabes como hacerlo, el resultado (y los he visto) no es muy aclaratorio, por lo menos para una mente normal.

Como ultima curiosidad puedo decir que el problema de los ángulos que nos restringía la formación de los poliedros regulares puede ignorarse si uno quiere; si levantamos la restricción que nos impone la geometría euclidiana podemos conseguir más espacio para formar poliedros, pero nos curvaríamos hacia el espacio hiperbólico, y esa es otra historia.

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La religión y los memes

Los que me conocen se habrán extrañado que haya tardado tanto en publicar sobre la religión, ya que siempre me he mostrado abiertamente crítico con este tema desde mi profundo ateísmo. Sin embargo no quería publicar aquí la típica muestra de animadversión general que se suele ver, principalmente atendiendo a temas como la pederastia, la financiación, o el fanatismo; mi intención es intentar ser un poco más analítico aprovechando la teoría memética que ha salido de la mente de Richard Dawkins.

Para los que no estén familiarizados con el concepto de meme (dejando claro que poco tiene que ver con las populares viñetas que se ven por Internet) intentaré explicarlo de la manera más simple que pueda.
Esta teoría la popularizó Richard Dawkins en su libro "El Gen Egoísta" donde habla de la evolución de las especies desde el punto de vista de los genes como unidad fundamental del proceso evolutivo, haciendo hincapié en el replicante, el gen que se copia a si mismo con gran exactitud casi siempre, y en ese casi esta la clave de la evolución. El término meme nace intentando representar la unidad mínima de información cultural que se transmite entre las personas, ideas que son replicadas y cuyas leves mutaciones durante la transmision han causado la evolución de las diferentes culturas en la historia. La analogía de los memes con los genes es inevitable, pero no evidente; al no poder estudiar estos conceptos de forma tangible hay científicos que han descartado la teoría, sin embargo recibe mucho apoyo por parte de otros; a dia de hoy se trabaja en los modelos matemáticos que consigan dar explicaciones al desarrollo de las culturas humanas a lo largo de la historia, y como no puedan realizar predicciones de evolución.
Para no entrar en temas técnicos podemos ver a los memes como ideas fundamentales, conceptos primigenios, virus de información que en compañía de otros memes llegan a desarrollar pensamientos reales en nuestro cerebro, pensamientos con los que somos capaces de infectar a nuestros hijos, o a nuestros alumnos, o incluso a la gente que nos rodea. El abanico de ideas por supuesto es infinito, desde los dogmas o principios religiosos hasta las bases del comunismo, pasando por cosas simples como la forma de hacer una avión de papel. En las cosas simples vemos la evidencia de mutación: una idea que en nuestro cerebro encuentra un entorno hostil acaba siendo descartada, pero una idea acompañada de otras que se adapten a ella sobrevive, y posiblemente se transmita; esta transmisión puede ser fiel a su original, o haber mutado. Las mutaciones pueden haber sido provechosas para que la idea sobreviva en otro cerebro, o puede haber sido perjudicial para su propia existencia, o simplemente puede pasar que caiga en un entorno hostil.
Debemos pensar que un entorno hostil puede referirse tanto a la persona que porta las ideas como a la cultura donde crece esa persona. La supervivencia de un meme no pasa por permanecer mucho tiempo en la cabeza de una persona, sino por ser transmitida a otra persona con la mayor exactitud que se pueda, o con aquellas alteraciones la hagan más adaptable a su entorno sin perder el concepto original.
Sin ninguna duda el proceso de infección memético sucede durante los primeros años de educación, recibimos influencias inevitables de nuestros padres y entorno, desarrollamos nuestros primeros conceptos sobre el bien y el mal, y nuestros profesores nos bombardean con enseñanzas que atrapamos en mayor o menor grado. Es sin duda para mi la etapa más importante, no porque lo sean los conocimientos adquiridos, sino porque desarrollaremos el futuro entorno personal donde se alojarán las ideas que vendrán el resto de nuestra vida, y es algo realmente difícil de alterar cuando uno es ya maduro. Es en esta etapa donde generalmente se reciben las ideas religiosas, memes del tipo más peligroso, ya que son capaces de hacernos llegar a comportamientos ilógicos, atentar contra nuestra vida o la de los demás, incluso han sido capaces de hacernos justificar la crueldad.

A las futuras generaciones les resultará difícil imaginar cómo fue posible que las ideas religiosas hayan sobrevivido tanto tiempo, y sobre todo que se hayan defendido aún en tiempos donde el conocimiento ha alcanzado cotas suficientes como para que todas esas ideas fueran descartadas. Para mi esperanza he de decir que cuento con el final de estas ideas (por lo menos en su forma masiva), pensando en que el entorno hostil que se va creando poco a poco acabará por frenar la mímesis constante de la ideas que hemos vivido hasta ahora.
Si analizamos la historia de todas las supersticiones y religiones que han surgido, no nos es difícil imaginar de donde fueron saliendo, respondían a preguntas para las que no habían respuestas, como los desastres de tipo volcánico o climático, y también otorgaban galones de sabiduría a los que decían estar más en contacto que el resto con las deidades dueñas de sus fenómenos inexplicables. Durante las generaciones posteriores estos memes religiosos primitivos se replicaron  y sobrevivieron renovándose y tomando formas distintas, lo que aterra es que llega un momento en el que ya nadie se pregunta de donde salieron esas deidades, las explicaciones que justificaban su nacimiento llegan y aunque las preguntas anteriores hayan sido respondidas las deidades siguen ahí. Este fenómeno me recuerda mucho al experimento de los monos, que no explicaré ahora, pero podéis leerlo aqui. Podemos justificar la longevidad pensando en su utilidad como método de control por parte de gobernantes y padres, cualquiera haría lo que se le pidiera si supiera que negarse significa que Apolo vendría a castigarnos duramente. Este tipo de cosas generaron también esa idea individualista de que las deidades te miran solo a ti y les importa lo que haces, naturalmente esta idea fue justificada posteriormente introduciendo el concepto de omnipresencia. Con el pasar de los tiempos se fueron rellenando vacíos, como evidentemente nadie pudo conocer a ninguna deidad, se le otorgaban rasgos humanos, vicios y virtudes o por supuesto la capacidad de amar u odiar, naturalmente nos ama a nosotros y odia a nuestros enemigos.También se generaban a su alrededor historias y mitologías, un pasado misterioso que justifica su personalidad y conviene de sobremanera (como no) a la figura de poder de turno.
De todas formas los memes sobre religiones politeistas no solían ser incompatibles con otras, aceptada la idea de inmortalidad del espíritu y de seres superiores, se podía aceptar la existencia de deidades ajenas que cuidaban de otros pueblos, amigos o enemigos. No fue hasta la llegada del judaismo que la idea del dios único se hizo presente de forma importante y llego al conflicto con otras religiones politeistas más poderosas. Finalmente esta idea monoteista fue alcanzada por los cristianos y más tarde por los mahometanos. Ciertamente la cristiana fue la que encontró el mejor método de expansión, difuminando sus memes por la clase más pobre hasta alcanzar un nivel de masividad que le permitiera alcanzar sus primeras posiciones de poder. Naturalmente sobra decir que los memes cristianos consiguieron extenderse allá por donde se extendía roma. La historia a partir de aquí es ya bastante conocida, casi 2000 años de difusión hasta nuestros días, pasando por la reforma que permitió la creación de nuevas versiones.

Cuando afirmo que los memes religiosos son del tipo peligroso la gente no atea tiende a escandalizarse, y es que a los religiosos se les da muy bien encontrar justificaciones e ignorar evidencias. La edad media es la mejor evidencia de el tipo de comportamiento que son capaces de provocar estas ideas arcaicas, justifican el morir, el matar, o el torturar, te convencen de que la sumisión es una virtud y que cuestionar los principios es un pecado duramente castigado; además aprovechan la idea también arraigada de la inmortalidad para estirar tu condena hasta la eternidad, de la cual evidentemente no puedes escapar. ¿Cómo es posible que estos memes no se vean afectados por el ambiente hostil de la actualidad en la era de la información y las evidencias científicas? Claramente durante la historia de la religión cristiana (principalmente) se han desmontado todas sus afirmaciones y se han ido adaptando como han podido a los avances de la investigación, desde la aceptación de la teoría heliocentrica hasta la teoría de la evolución de Darwin, pero perseveran aun en cosas que no les hacen quedar demasiado mal. Las crueldades cometidas durante la edad media no han sido suficientes para cuestionar la credibilidad de la iglesia cristiana y hoy en día una evidencia del peligro del fanatismo como el terrorismo islámico tampoco parece afectar demasiado a los memes. Si uno profundiza realmente en el tema cuesta encontrar una justificación real para su perseverancia.
Todavía me encuentro con gente que afirma que el ser humano necesita creer en algo; a mi me da la impresión que la idea de la inmortalidad está tan arraigada en nuestros cerebros que hay gente que no concibe la posibilidad de que no vivir eternamente, y seguramente la explicación a esto la encontramos en nuestra infancia. Desgraciadamente la superstición sigue siendo un método de control, muchos padres no encuentran mejor forma de provocar el buen comportamiento que introduciendo el miedo a dios, o el miedo a que un gordo que aparece en los anuncios de coca cola nos niegue el regalo que tanto ansiamos y que supondrá nuestro éxito ante los demás niños. Replicamos memes negativos apropósito. Creamos una falsa idea del éxito en la vida que se perpetuara hasta nuestro lecho de muerte, y lo peor de todo es que luego nuestros hijos lo replicarán cuando se vean en la misma falta de control. Este entorno mal creado finalmente acaba por ser un entorno apropiado para que se puedan desarrollar ideas supersticiosas, a menos que sea contrarrestado, y menos mal, hoy en día lo es en una gran parte del mundo, sin embargo queda aun mucho mundo donde eso pasa.

Hoy en día divulgadores importantes como Richard Dawkins, Daniel Dennet o el recientamente difunto Christopher Hitchens se ven como enemigos de la moral porque levantan una bandera en contra de las religiones, sin embargo la misión divulgativa me parece importante. No hay que dejar que se tapen los escándalos religiosos, ni permitir que continúen en posiciones de pode, pero para mi, sobre todas las cosas, tenemos que intentar no repetir los errores cometidos por generaciones anteriores en materia de educación, intentar no imponer memes peligrosos en el subconsciente de los niños, independientemente de que en el futuro decidan por su cuenta abrazar una religión. Somos responsables de la transmisión o no transmisión de las ideas, y no es una responsabilidad fácil, pero si muy importante.

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