La botella de Klein

Un matemático llamado Klein 
Pensó que la banda de Möbius era divina 
Dijo él: “Si tu pegas 
Los bordes de dos, 
Obtendrías una extraña botella como la mía

La entrada anterior me viene de perlas para introducir esta curiosidad topológica, ya que hablamos de un objeto de 2 dimensiones curvado en 4; suena muy raro pero enseguida le encontramos la lógica a la figura.

Para el que no lo sepa la topología es una rama de las matemáticas que estudia las formas, en resumidas cuentas, pero no desde el punto de vista del tamaño, ni siquiera de la solidez, solamente piensa en conjuntos de puntos que forman un espacio y que cumplen ciertas propiedades de interconexion. En topolgía una esfera es igual a un balón de rugby, puesto que puedes obtener uno deformando el otro, sin embargo no podemos deformar un balón de rugby para obtener un donut, por culpa del agujero del centro, por lo tanto son distintas. De esta forma, una hoja de papel, por ejemplo, podemos estirarla hasta el infinito sin afectar a sus propiedades, incluso podemos doblarla y seguiría siendo el mismo espacio topológico, osea la misma figura. Una figura de esta forma no tiene problemas con atravesarse a si misma, a menos que nosotros voluntariamente le otorguemos la propiedad de la solidez, y digo que un problema así en topología se solventa añadiendo las dimensiones necesarias, con la única dificultad de que nos cuesta más imaginarlo, o representarlo, pero no es imposible.

Aclarado este punto debemos pensar la banda de Möbius, que imagino será conocida entre la mayoría, por si acaso aclaramos un poco el tema.

Tomamos nuestra hoja de papel de 2 dimensiones y la deformamos hasta tener una cinta; esta cinta tiene 2 caras y 2 bordes laterales sin dimensión que separan una cara de la otra, hasta aqui está todo claro.Un recurso topológico es la identificación, o "pegado", matemáticamente decimos que identificamos todos los puntos de un borde con los de otro, osea que los igualamos, trivialmente decimos que tomamos un borde lateral y lo pegamos al otro, y punto. Lo que obtenemos es un cilindro, cosa que no parece tener demasiada gracia, pero paciencia; lo que si que hay que tener en cuenta es que nuestro cilindro solo tiene 2 dimensiones, nuestro universo es la hoja de papel, no el hueco del cilindro, y nuestra cinta no ha cambiado gran cosa, solo que ha perdido los bordes laterales, pero sigue teniendo 2 caras, una de ellas mira hacia el interior y la otra al exterior. La única diferencia con nuestro espacio anterior es que este esta curvado en la tercera dimensión, pero sigue teniendo 2, importante. Guardamos nuestro cilindro en la memoria, después volveremos a el.

Recuperamos nuestra cinta para seguir jugando con ella; todo esto que hacemos podemos experimentarlo con una hoja de papel y pegamento, incluso la banda de Möbius. Si ahora nos fijamos en los bordes pequeños de la cinta podemos repetir el experimento y obtener un cilindro más achatado, en lugar de escogemos uno de los bordes, solo uno, y lo giramos 180º, si lo pegamos al otro borde girado el resultado ya no es un cilindro, sino la banda de Möbius. Esta nueva figura es un espacio de 2 dimensiones igual que hasta ahora, pero la gran diferencia es ahora solo tiene una cara y un solo borde; podemos verlo o probarlo recorriendo el borde con el dedo, o pasando un lapiz por su única cara. En el clásico dibujo de Escher con las hormigas, se ve como las hormigas caminan haca adelante por la banda, al dar la primera vuelta vuelven de cabeza, y en la segunda vuelta alcanzan el punto de partida, todo esto solamente avanzando por la banda. Sobra decir a estas alturas que la nada de Möbius tiene 2 dimensiones, y esta retorcida en la tercera.  Mi próxima entrada en el blog enlazara con esto para relacionarlo con Johann Sebastian Bach, algo para dejar boquiabierto a cualquiera.

Vamos entonces al asunto que nos trae.

Para construir la botella de Klein tenemos que volver al cilindro, 2 dimensiones, un interior, y un exterior; tenemos que recordar también que podemos estirar el cilindro a nuestro antojo, siempre que no lo rompamos. Es imposible formar de verdad una botella de Klein, aunque podemos ver representaciones 3d por ordenador para hacernos a la idea, incluso hay esculturas, pero todo esto tiene un problema que veremos evidente enseguida. Lo que si nos podemos imaginar es la primera transformación evidente que le podemos hacer con el cilindro; podemos tomar los bordes y pegarlos entre si usando la tercera dimensión, el resultado es fácil, el toro, comúnmente visualizado como un donut. Insistiré en el hecho de que no estamos contando con el interior de la figura, solo con el espacio plano, el toro sólo tiene 2 dimensiones, y en éste casi distinguimos la cara que da al interior encerrado, y la cara del exterior. Éste hecho es importante para entender cómo se forma la botella de Klein, antes de hacer nada recomendaría imaginar cada cara del cilindro pintada de un color distinto. El proceso para la banda de Möbius era girar un borde 180 grados, esta vez hacemos lo mismo, solamente con la dificultad de imaginarse el giro, ya que hemos de hacer coincidir el interior con el exterior del cilindro. Es muy difícil de explicar con palabras, asi eu dejo un video para que se vea claro. Solo recordar que el cilindro lo podemos estirar cuanto queramos y la figura no pierde sus propiedades.

Y ya la tenemos!

Supongo que ya os habreis fijado en el problema, la botella de Klein se atraviesa a si misma; ésta es la razón por la que esta figura se consigue solamente con 4 dimensiones, necesitamos una dirección extra para poder invertir el interior y pegarlo al exterior sin que se intersecte, esos puntos que en nuestras representaciones tridimensionales parecen unidos (o como si hubiéramos hecho un agujero en la botella) en realidad son puntos distintos. La curiosidad principal es que la figura es una de las superficies (2d) conocidas no orientables, lo que quiere decir que solo tiene una cara, y a diferencia con la banda de Möbius, no tiene ningún borde. Nos podemos hacer una idea con este video de un ciclista recorriendo su superficie.

Curiosamente, y se refleja también en el primer vídeo, es que si cortamos una botella de Klein por la mitad el resultado es nada más y nada menos que una banda de Möbius! cosa que tiene mucho sentido una vez bien meditado, al final no es más que construir el cilindro a partir de la banda ya retorcida. Como topologicamente podemos estriar lo que queramos la superficie, podemos entender que la forma de botella que le damos es completamente arbitrario; podemos hacer lo que queramos con ese espacio siempre y cuando no alteremos las propiedades. La palabra alemana que uso Klein cuando la describio por primera vez se parece a la palabra botella, así que se confundieron al traducirlo, y asi se quedo.

Cuando vi la figura por primera vez lo que me dejo impresionado es el hecho de no poder identificar el interior del exterior, puesto que no tiene; cuando vemos representaciones por ordenador o incluso esculturas la forma de botella tiende a engañar a nuestro cerebro y la relacionamos con la botella clásica. Nos cuesta muchísimo (o simplemente no podemos) imaginar la forma verdadera de la figura. A mi me provoca mucha curiosidad pensar cuantas formas más pueden existir usando el brazo de la 4ª dimensión, que no tienen por qué ser infinitas como se podría pensar; cuántas podríamos pensar si en vez de superficies torcemos espacios 3d. Es por esto que me llama la atención la topología, al topólogo le da igual la representación 3d, lo observa todo como quien observa el mundo solamente a través del código de Matrix.

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