Politopos en la cuarta dimensión

$ Esta última semana he recordado una conferencia a la que asistí hace unos años que me dejó bastante perplejo., la titulaban "Poliedros y politopos"; básicamente buscaban responder preguntas sobre politopos regulares en cualquier dimensión. Me sorprendió sobre todo el material gráfico que mostraron a la audiencia, hasta entonces me resultaba extraño pensar que se podía representar de forma tan natural figuras en dimensiones que ni siquiera podemos imaginar; todo esto complementado con experimentos sencillitos con papel y tijeras para ayudarnos a visual algunas explicaciones sin entrar en ecuaciones para las que aun no estábamos preparados (tampoco se si lo estoy ahora). La pregunta principal que intentaban responder era cuántas caras podría tener un politopo regular, y cuántos existen en cada dimensión. Curiosamente la pregunta tiene respuesta y demostración, aunque no escribo la entrada para mostrarla, sino más bien para detenerme un poco en las curiosidades que ya solamente presentan estas figuras en la cuarta dimensión, cosa que suele crear bastantes dolores de cabeza a la mayoría de la gente cuando intentan imaginarlo.$
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Primero que nada hay que entenderse bien. Todos conocemos el concepto de polígono, cualquier figura formada por 3 o mas segmentos (evidentemente rectos), es un polígono, cada lado tiene una longitud y forman angulos, si todos los lados son iguales y también los ángulos tenemos un polígono regular, con infinitos ejemplos conocidos: el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentagono... Claramente vemos que estos polígonos regulares pueden tener cuantos lados queramos a medida que nos aproximamos a la circunferencia, por lo tanto no merece la pena preocuparse por estos. El mismo concepto aplicado a los sólidos de 3 dimensiones (poliedros) toma resultados distintos. Un poliedro está formado por polígonos conectados en la tercera dimensión, los lados comunes pasan a formar las aristas, y cada polígono es una cara. Cuando el poliedro esta formado únicamente por polígonos regulares entonces tenemos un poliedro regular. Si bien es cierto que el límite para formar poliedros es nuestra imaginación, los poliedros regulares son solo 5, y no pueden haber más. Todo poliedro regular se somete al teorema de Euler: caras + vértices =  aristas + 2, por ejemplo el cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. De esta fórmula se llega a la demostración matemática de que solamente hay 5, pero para no aburrir a los pocos lectores que pueda tener, hay una explicación más simple con un poco de imaginación, o en su defecto papel y tijeras.

Sólidos platónicos

Para formar poliedros regulares hemos de partir de polígonos regulares. Para la primera forma tomamos tres triángulos, (con menos no hacemos nada), los colocamos en el plano y juntamos sus vértices. Vemos que queda hueco entre ellos. Pegado el vértice tenemos que juntar los lados para formar las aristas, para ello usamos la tercera dimensión; sin despegar el vértice bajamos los triángulos y hacemos coincidir las aristas, la forma del tetraedro ya es evidente, a falta de pegarle el cuarto triángulo en el hueco que se ha formado abajo. Podemos hacer exactamente lo mismo para formar el cubo juntando tres cuadrados por el vértice y aprovechando el hueco que queda entre ellos para descender en la tercera dimensión, para llenar el hueco usamos otra pieza igual y tenemos así sus 6 caras. Para el octaedro tenemos que usar 4 triángulos, pegandole la pieza de abajo tenemos 8 caras triangulares. Hacemos lo mismo con el pentágono y tenemos una pieza que tenemos que completar con 4 iguales a esa, 12 caras, el dodecaedro. Un caso similar pasa al usar 5 triángulos (todavía tenemos espacio entre ellos), 4 piezas forman el icosaedro, 20 caras. Ya tenemos los 5, y podemos imaginarnos el por qué no podemos formar más. Si intentamos usar 6 triángulos nos daríamos cuenta de que ya no nos queda espacio para bajar y juntar las aristas, ya están juntas en el plano. El ángulo interior del triángulo equilátero tiene 60º, si usamos 6 de esos llenamos los 360º. Lo mismo nos pasa si juntamos 4 cuadrados por el vértice, ángulos de 90º. Si lo intentamos con más pentágonos (108º) ni siquiera nos queda ángulo para juntar los 4, y sobra decir ya que 3 hexágonos no te permiten juntar ni el primer vértice. De esta forma se hace evidente que no hay posibilidades de formar más poliedros a partir de solamente polígonos regulares.
Estos 5 poliedros son los llamados Sólidos Platónicos. En Grecia pensaban que tenían propiedades místicas y asociaban a ellos los 4 elementos dejando la magnificencia del cosmos para el dodecaedro; los griegos casi veneraban al pentágono y sus propiedades. Años más tarde el atronomo Kepler llegó a afirmar que al encajar cada solido dentro del otro se obtenían las órbitas de los planetas alrededor del Sol, algo bastante descabellado pero nada se le puede reprochar a uno de los padres de esa ciencia. Por otro lado si algún lector está familiarizado con los juegos de rol habrá visto que son exactamente los dados empleados habitualmente. Los geometras suelen también estudiar los denominados poliedros semiregulares, formados por polígonos regulares pero no necesariamente todos iguales. Algunos los obtienen cortando estos 5, el más famoso de ellos es el llamado icosaedro truncado, y es famoso porque todos los fines de semana en todas partes del mundo hay 22 hombres persiguiendo y pateando uno.

Bueno pues es hora de dar el salto a la cuarta dimensión. Siguiendo el mismo razonamiento matemático no debería ser difícil de imaginar el proceso. Evidentemente el truquito de juntar los vértices ya no podemos usarlo, pero solamente hay que tener presente que se van a formar los politopos a partir de los sólidos platónicos. Un politopo viene a ser cualquier poliedro de más de tres dimensiones, yo sólo me voy a fijar en los de 4.

Mucho antes de que pudiéramos ver las representaciones tridimensionales que tenemos hoy hubo una mujer que fue capaz de estudiar los politopos en su mente, Alicia Boole Stott. Dicen que tenía una capacidad de abstracción impresionante, y era capaz de visualizar como nadie 4 dimensiones. Suyo es el concepto de politopo y junto con otros matemáticos de la epoca (ella era aficionada) desarrollaron una parte muy importante de la geometría n-dimensional. Empleaban varias técnicas para poder visualizar los politopos.
Nosotros podemos desarmar un cubo y estirarlo en una hoja de papel, de niños casi todos lo habremos hecho, esa forma plana del cubo es el desarrollo del cubo, y se puede hacer con cualquier sólido. Exactamente lo mismo se puede hacer con un politopo, se puede desdoblar para estirarlo en 3 dimensiones, el Cristo de Dali muestra lo que sería exactamente el desarrollo del hipercubo, se ve claramente que el hipercubo esta formado entonces por 8 cubos tridimensionales; plegados en la cuarta dimensión los 8 cubos estarían encajados perfectamente entre si sin atravesarse a si mismos ni deformarse, como necesariamente los tenemos que representar nosotros.
Otra técnica de estudio suele ser intersecar el politopo con un espacio tridimensional. Para hacernos una idea, sería como tomar un sólido, digamos una naranja y realizarle un corte transversal, sacando así un espacio plano circular, cada corte de 2 dimensiones es diferente y teniendo todos, o una parte relevante se puede deducir la forma de la naranja. Exactamente lo mismo puede hacerse con politopos de 4 dimensiones, con la diferencia de que el corte obtenido tiene tres dimensiones, y da lugar a algo con lo que podemos jugar.
Por último, y es una técnica muy empleada hoy para la visualización es la proyección tridimensional. Si nos imaginamos el esqueleto de un cubo y lo ponemos a la luz, proyectara una sombra sobre el papel, podemos dibujarla perfectamente, y seguramente todos lo hemos hecho alguna vez. Todos entendemos como es un cubo al dibujarlo, por nuestro conocimiento de las 3 dimensiones, pero ese cubo sobre el papel tiene 2 dimensiones. Deformamos los cuadrados de los que está formado para darle la perspectiva, objetivamente las lineas dibujadas se cruzan entre si, no forman ángulos rectos, pero no importa, sabemos lo que es. Si hacemos lo mismo con un politopo, éste arrojara una proyección (sombra) de 3 dimensiones. Ésta es quizás la forma que nos resulta más cómoda para imaginarlos.

6 son los politopos de 4 dimensiones, todos ellos compuestos de sólidos platónicos y polígonos regulares. A cada uno de ellos se le relaciona con el numero de celdas de las que está compuesto, cada celda se define como el politopo de dimensión anterior de los que está formado. Se hace esta convención para poder llevar la definición a cualquier dimensión.

Pentácoron

El pentácoron esta formado de triángulos y tetraedros (5 celdas) y es el politopo más simple en 4 dimensiones, cosa que se agradece, viendo la magnitud de sus hermanos mayores. En la animación se pueden apreciar los tetraedros, por supuesto deformes, tal y como pasa con el cubo dibujado.










El hipercubo o tesseracto es la evolución del cubo, formado por 8 de estos. Puede que sea el politopo más conocido, incluso hay varios monumentos en el mundo que imitan su forma. Puse una animación suya en una entrada anterior.

El hexadecacoron, también llamado 16-cell esta formado también por triángulos y tetraedros, aunque guarda también relación con el octaedro, aunque es algo más dificil de ver.

El Icositetracoron, o 24-cell es el único sin análogo tridimensional lo que le da una forma bastante curiosa, digamos que cuesta relacionarlo con algún solido conocido, se distinguen claramente los triángulos, aunque tambien se le relaciona con el cubo y el  octaedro.

El hecatonicosacoron (120-cell), el Saturno de los politopos, por lo grande más que nada, 120 celdas con forma de dodecaedro; relacionado también con el tetraedro Una delicia para los pitagóricos, y complicadisimo de seguir, pero con atención se distinguen los dodecaedros. Es quizás mi favorito.














El hexacosicoron (600-cell), el gigante. He de decir que la animación impresiona menos que otras que he visto. Esta formado por 600 tetraedros y 1200 triángulos, y a su vez se distinguen icosaedros de forma más indirecta, es quizás una relación similar a la del triángulo con el hexágono.








La demostración matemática de por qué solamente existen estos 6 no es complicada pero tampoco creo que interese, y tampoco dispongo de algún razonamiento como el de los ángulos, aunque sin duda podría existir un análogo. Curiosamente a partir de la cuarta dimensión los politopos regulares posibles son solo 3 en cada una de las dimensiones mayores a 4. Todos estos politopos proyectados en 3 dimensiones también se pueden proyectar en dos, si colocas todos sus vértices en el papel puedes unir todos como corresponde si sabes como hacerlo, el resultado (y los he visto) no es muy aclaratorio, por lo menos para una mente normal.

Como ultima curiosidad puedo decir que el problema de los ángulos que nos restringía la formación de los poliedros regulares puede ignorarse si uno quiere; si levantamos la restricción que nos impone la geometría euclidiana podemos conseguir más espacio para formar poliedros, pero nos curvaríamos hacia el espacio hiperbólico, y esa es otra historia.

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