Bienvenidos al Hotel Infinito

En estas dos últimas semanas me he topado de forma continua y repetitiva, y a través de distintos medios he de decir, con la historia (paradoja más bien) del Hotel Infinito de Hilbert; como si el destino me susurrara al oído lo que tenía que hacer, sólo que en lugar de construir campos de baseball yo escribo en mi blog. Es probable que muchos de mis lectores ya conozcan esta paradoja, pero si que me gustaría indagar un poco en lo que representa realmente, ya que aunque para muchos esta historia represente un absurdo, para los matemáticos no es más que una realidad con la que nos toca jugar a diario. No son pocos los que me han puesto caras extrañas cuando me han escuchado decir que existen infinitos distintos, unos más grandes que otros, y que el infinito con el que estamos más familiarizados intuitivamente es el más pequeño de todos. No culpo a nadie, ya que cualquier matemático se ha quedado igual de ojiplático cuando se ha topado con el asunto en si, el mismo George Cantor, que desarrolló esta cadena de descubrimientos acabó sus días en un manicomio; espero que esto no desanime. Reconozco que la historia es digna del Barón de Munchausen, pero no le quita sentido; vamos con ella:

"En algún punto del Universo existe un hotel que se hace llamar Hotel Infinito. Tiene la peculiaridad de disponer de infinitas habitaciones, así que sus dueños no dudan en afirmar que sin excepción alguna siempre habrá una habitación libre para cualquier huésped que desee alojarse aquí; lo unico que piden a cada uno es que si el hotel lo necesita han de estar dispuestos a cambiar de habitación.
Y así llega el día en el que su popularidad se ve puesta a prueba y el hotel ha de colgar el cartel de "COMPLETO", las infinitas habitaciones están ocupadas. No obstante aparece un huésped intentando hacer valer su famoso eslogan.


- No se preocupe usted caballero, en seguida consigo que una habitación quede libre.

 Entonces el dueño anuncia a todos los huéspedes que deben abandonar sus habitaciones, y mudarse a la habitación contigua, osea un numero por encima de la suya. De este modo el huésped de la 1 se mueve a la 2, el de la 8 a la 9, y el de la 45678 a la 45679.

- Listo señor, la habitación numero 1 ha quedado libre para usted.

El ingenio de los dueños parece funcionar. El truco les vuelve a funcionar cuando aparecen 5 nuevos clientes, haciendo que cada huésped se mude 5 habitaciones hacia la derecha, despejando así las 5 primeras y alojando ahí a los nuevos.
Sin embargo un día aparece un autobús cargado con infinitos turistas. El guía se acerca al mostrador y:

- Señor necesito habitación para todos y cada uno de los infinitos clientes que me acompañan, al parecer es el único hotel donde puedo alojarlos, pero veo que están ustedes completos.

- No hay ningún problema, en el Hotel Infinito siempre hay espacio para infinitos nuevos clientes.

El dueño toma el megáfono y solicita a todos los huéspedes que cambien su habitación por la que resulte de multiplicar por dos el número de habitación actual. Así lo hacen y todos y cada uno comienzan a mudarse y a ocupar todas las habitaciones pares, el 1 a la 2, el 5 a la 10, el 45 a la 90...

- Listo señor, dispone usted de las infinitas habitaciones impares que han quedado libres, que tengan una buena estancia"


¿¿Como??

Pues aunque lo parezca aquí no pasa fantástico, salvo por el detalle insignificante de las infinitas personas en el autobús, o el hotel con infinitas habitaciones; y es que cuando hablamos del infinito pasan cosas que ponen a prueba nuestra intuición. Cómo puede vaciarse una habitación si estaban las infinitas ocupadas, y evidentemente sin que nadie se quede sin habitación. Es el equivalente a pensar que sumarle uno a infinito nos da infinito. Pues así es y es lo que pasa. Todos y cada uno de los huéspedes dejan una habitación libre y todos y cada uno tienen una nueva que ocupar a su derecha. En el momento en el que imaginamos un número, por grande que éste sea, lo dotamos automáticamente de un anterior y un posterior, y como es evidente también del numero resultante de sumarle 5, o lo que nos apetezca sumarle; y no importa si nos imaginamos un gúgol , el infinito nos sigue quedando muy lejos. Esto parece querer decir que el infinito en su tamaño permanece invariante por mucho que le sumemos, incluso por mucho que le restemos! ¿Qué pasa si le sumamos infinito? Esto parece más peliagudo, y es lo que sucede cuando aparece el autobús. La primera estrategia deja de funcionar porque aunque consigas meter a los 5 primeros, o los 1000 primeros, siempre te quedarán infinitos por alojar. ¿Cómo liberas infinitas habitaciones? O más rigurosamente, ¿contiene el infinito subconjuntos infinitos? Aquí es donde la intuición nos la juega. La relación de contenido entre conjunto siempre parece hacernos pensar que lo que está contenido dentro de otra cosa tiene que ser de menor tamaño, la matrioska que vive dentro de la otra siempre es más pequeña. Esto no sucede con los subconjuntos infinitos. El conjunto de los números pares parece representar, la mitad del total de los números, y más o menos lo es, la otra mitad queda representada por los impares, ambos subconjuntos infinitos de los números naturales; sin embargo como todos sabemos los números pares son infinitos, igual que los impares, o igual que los naturales, y desde el punto de vista del cardinal (número de elementos) los tres conjuntos tienen exactamente el mismo tamaño. De hecho, cualquiero conjunto infinito que se nos ocurra (múltiplos de 3, de 8, de un gúgol...) tiene exactamente el mismo tamaño que el total de los números. Desde un punto de vista matemático, son isomorfos, por lo que se comportan igual, lo que "casi" viene a decir que salvo el nombre que le des a cada elemento para qué lo uses, ambos conjuntos son básicamente el mismo; paradójicamente esto parece decir que el total es igual a cada una de sus partes, en este caso, lo dejo en el aire.

Los matemáticos comparamos los tamaños de los conjuntos diciendo que si somos capaces de unir uno por uno cada elemento de un conjunto con los de el otro, entonces los conjuntos tienen el mismo tamaño, por muy infinitos que sean. Evidentemente no se hace a mano, pero se demuestra que es posible, y a veces no es fácil. Hasta ahora parece que me contradigo porque afirmo que los infinitos que viven dentro del infinito de toda la vida son igual de infinitos, dónde están entonces los infinitos menores, o los mayores. Pues menores no hay, este infinito es el de menor tamaño que podemos imaginar, cualquier intento de infinito menor se puede alinear uno por uno con cada número natural. Por ejemplo a cada número par le podemos asociar un número del total simplemente pensando en que todos los número pares proceden de multiplicar por dos algún número natural, y lo asociamos con este, uno a uno. Así sucederá con cualquiera que intentemos imaginarnos. ¿Cómo nos imaginamos entonces infinitos mayores?
Nos planteamos si los números naturales están contenidos en otro conjunto más grande, otra matrioska que tenga un tamaño mayor. La respuesta es conocida. Cogemos todos estos números, plantamos el cero a la izquierda del uno, y después todos los números negativos. Tenemos los números enteros y a los números naturales metidos aquí dentro, dando la impresión de que representan a la mitad (o casi) de todos estos números. Pues va a ser que no. El tamaño de los números enteros es igual que el de los naturales, y la demostración pasa por la asociación de la que hablábamos antes, pero en esta demostración no me voy a detener esta vez. Salvo por el hecho de que hemos roto el límite finito que representaba el uno esto tampoco parece demasiado impresionante. Para obtener el siguiente conjunto "mayor" que contiene a los enteros lo que hacemos es cogerlos todos y dividirlos a todos entre si, apareciendo las muy queridas fracciones que tantos dolores causan en la infancia. Aparecen entonces muchisimos números más, los números racionales. La recta de los números enteros empieza a llenarse casi completamente, entre el 1 y el dos aparecen de golpe todos los números que representan cantidades intermedias, tantas como nos podamos imaginar y más. Solamente entre el 1 y el dos aparecen infinitos números más, y da la impresión de que no hemos dejado espacio en la recta para más conjuntos. Curiosamente sólo entre el 1 y el dos (y en todos los intervalos) hay infinitos números; siempre podemos dividir el intervalo por la mitad, y cada mitad por la mitad, y cada cuarto por la mitad, y cada octavo por la mitad, y así ad infinitum. Todo intervalo, o intervalito, por pequeño que sea, contiene infinitos números, tantos incluso como el total. La pregunta ahora es si ya hemos conseguido superar el tamaño de los números naturales.  Pues no. Esto es más difícil de imaginar todavía, lo reconozco; estamos diciendo que el infinito de todos  los números naturales cabe dentro del intervalo [1,2] y aún así afirmamos que tienen el mismo tamaño.
Estas cosas solamente suceden cuando tratamos con el infinito, más específicamente "alef 0", nombre que otorgó Cantor al número transfinito que representa el tamaño de todos estos conjuntos. Al conjunto de los números racionales nos queda aun añadirle los números irracionales, un dolor de cabeza para cualquiera. Resulta que  este conjunto da la sensación de que llena del todo la recta, que allá donde apuntes entre dos números enteros habrá un número racional; la idea de que puedas dividir y dividir hasta el infinito hace que no importa el intervalo que elijas, por pequeño que sea, siempre hay números en medio, siempre puedes dividir y dividir. Sin embargo la intuición falla, como de costumbre. Si tomamos un bisturí y colgáramos la recta de los racionales como si fuera un cable, al pasar el bisturí no tocaríamos un racional, tocaríamos un irracional; de hecho la probabilidad de tocar un racional es casi cero. La diferencia entre los irracionales (pi, phi, e...) es tan gran grande que la unión de estos dos conjuntos alcanza el tamaño de infinito que supera por fin al de los naturales: los números REALES. En los números reales encontramos por fin la definición de la continuidad esperada, podemos dibujar su recta con un lápiz sin levantarlo, ya que no tiene ningún hueco; dibujar los racionales con una recta haría que sonara como una carraca. Esto hace que los físicos vean en los números reales una buena representación de la realidad, se puede medir, aporta área y volumen a los objetos que se forman con ellos, abarca más de lo que podemos imaginar, pero representa todo lo que necesitamos para entender el universo, o casi todo.

El por qué este infinito es mayor que el otro requiere una demostración realmente rigurosa. Lo que si es cierto es que la asociación entre número y número que antes se podía hacer ya no se puede conseguir de ninguna forma. Cantor otorgó al cardinal de este conjunto el siguiente número transfinito: "alef 1", y su valor corresponde exactamente a 2 elevado a la potencia de "alef 0", entender por qué esto es así supuso uno de mis momentos eureka más emocionantes.

Existen números transfinitos más grandes, pero es algo que de momento supera mis conocimientos, entrar en la mente de Cantor es un riesgo que habrá que correr algún día.

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