Sobre incompletitud, Gödel, y "El Show de Truman"

No deja de sorprenderme el mundo de la lógica, y sobre todo de la lógica moderna, a la que la mayoría no estamos acostumbrados realmente; y es que el nivel donde las matemáticas modernas la han llevado sobrepasa los límites de comprensión de la mayoría, que abandonan al menor síntoma de colapso mental. No es que yo pretenda ahora provocar un colapso a nadie, tampoco puedo presumir de ser un gran conocedor del campo (de momento), sin embargo he sentido mucha curiosidad en estos días por el odioso legado que nos dejó uno de los grandes matemáticos de la era moderna, Kurt Gödel, quizás ya conocido para muchos por el libro "Gödel Escher Bach" sobre el que espero hablar aquí algún día. Para no esfumar la pizca de curiosidad que puede haber despertado el título aviso que no pretendo escribir aquí ni una biografía suya ni un análisis complicado sobre su trabajo (ni podría), simplemente pretendo indagar un poco en su Teorema de Incompletitud y las curiosidades que me ha despertado, desde un punto de vista un poco más filosófico y relacionado de alguna extraña forma con la película "El Show de Truman" , confío en que el lector tenga paciencia para entender por qué.

La culpa de este nuevo bucle psicoanalítico de mi realidad la tiene una conferencia a la que asistí hace unos días. Nos hablaban un poco sobre varios matemáticos importantes que también han sido recordados por la locura o rarezas ligadas muchas veces a la genialidad. Naturalmente Gödel se llevó un capítulo importante, eso si, más que por sus rarezas, por el conflicto que supuso su teorema a las matemáticas de la época, y la relación que el conferenciante veía con el "mito de la caverna" de Platon, muy bien enlazado con el tema principal de la charla. Dicen que el descubrimiento del teorema supuso un golpe muy duro para Gödel, y que se volvió aún más introvertido, hasta el fin de sus días; eso si pienso que tampoco es tan exagerado como el caso de Cantor, cuyos estudios en profundidad sobre el infinito lo llevaron directamente al manicomio. El problema es que el Teorema de Incompletitud (dos en realidad) abrió huecos en unas matemáticas que hasta entonces se consideraban perfectas y elegantes, bajo el punto de vista de la época; y no es que Gödel refutara lo establecido, pero el matiz complicaba un poco las cosas.
No voy a entrar en los tecnicismos del teorema para no espantar al lector, pero intentaré resumir el teorema y sus implicaciones de forma cómoda para poder jugar un rato con las paradojas y desordenar un poco nuestra noción intuitiva de la realidad.

Toda matemática arranca desde un sistema axiomático perfectamente definido, con todos sus cabos bien atados para obtener los resultados esperados (y otros muchos no esperados) y tener la garantía absoluta de no encontrar paradojas o contradicciones. Cuando nuestro sistema axiomático garantiza que una afirmación y su negación no se pueden dar simultáneamente decimos que el sistema es consistente, y cuando nuestro sistema garantiza que todas las proposiciones se pueden demostrar o refutar decimos que nuestro sistema es completo. El señor Gödel afirma que no se pueden dar las dos condiciones a la vez, y demostrado lo dejó. No pienso entrar en la demostración, pero podemos jugar un poco con la lógica para entender estos conceptos. Observemos esta proposición y veamos si podemos determinar su veracidad o falsedad:

[La siguiente frase es falsa]------------->     <-------------[La frase anterior es verdadera]

Pueden ser verdaderas a la vez? o falsas? Puede ser verdadera o falsa alguna de las dos? Esta pequeña paradoja nos da una pista, si el sistema lógico es consistente y una proposición no puede ser falsa y verdadera a la vez entonces esta proposición es indecidible, es decir, no podemos demostrarla ni refutarla, no es una tautología ni un absurdo. Afirma Gödel que este problema lo encontraremos siempre en sistemas consistentes cada vez que se refiere a si mismo, esto viene a ser proposiciones o teoremas que hacen referencia a la estructura del sistema o dicho de una forma más cómoda, cada vez que el sistema intenta demostrarse a si mismo o su propia consistencia; esto se conoce como recursividad. Puede parecer extraño pero la recursividad es habitual y no tiene por qué dar problemas salvo por el matiz que incluye Gödel con su demostración.
El segundo teorema de Gödel a grandes rasgos es una consecuencia de la anterior. Decimos que si un sistema es completo, es decir, todas las proposiciones y teoremas son definibles en su caracter de verdaderas o falsas, demostrables o refutables, entonces el sistema es incapaz de demostrar su consistencia. A veces estas cosas en matemáticas hacen que te arranques el pelo, como no puedes demostrar la consistencia no puedes asumir el sistema como consistente, aunque lo sea. Es ciertamente intrigante. Como vemos los teoremas se complementan, si tienes una condición entonces la otra no se da, y viceversa.

Entendidos los conceptos (espero), podemos elevar la implicación. Si tenemos una gran teoría matemática ¿como demostramos que la teoría es correcta? Internamente funciona todo perfectamente, todos los cabos están bien atados y todo lo que vive ahí dentro es feliz y real, pero si la teoría se plantea su propia existencia entonces falla. Una sistema matemático no puede demostrarse a si mismo, por lo menos sin abrir huecos o paradojas. Si dejamos de pensar en números y nos ponemos a pensar en lógica avanzamos entonces hacia la filosofía y empiezan a surgir preguntas. ¿Quiere decir que la teoría es incorrecta? No. Lo que quiere decir es que no puedes saberlo. Gödel ha conseguido salir de la caverna de Platon y situarse los lindes del mundo lógico y tocar la burbuja donde vive toda la lógica, se dio cuenta de que no podemos salir de ahí y de que lo que hay dentro está menos ordenado de lo que se pensaba en la época. ¿Es imposible entonces demostrar la veracidad de un sistema lógico? No, pero hay que recurrir a otro sistema lógico, salir de la burbuja, entrar en otra y mirar el mundo desde fuera; naturalmente este nuevo sistema tendría el mismo que el otro. ¡Pero entonces demostramos algo usando otra lógica que tampoco podemos demostrar! Claro que si, solo habría que volver al sistema inicial y podríamos demostrar el segundo. A estas alturas empezamos a notar la aneurisma.

Soy consciente de que a mucha gente esto le provocará dolor de cabeza, pero para mi consigue arrancar el motor del razonamiento, y las derivaciones constantes en mi cabeza han terminado la necesidad de escribir sobre ello. Muchas veces nos hacemos preguntas que no tiene sentido hacerse. Una gran parte del mundo las soluciona las dudas con la religión, pero el resto del mundo indagamos e indagamos y acabamos siempre perdidos en una espiral que no lleva a ninguna parte. Toda nuestra existencia está dentro de un sistema lógico, y es un sistema que funciona (evidentemente estamos aqui) pero, ¿podemos preguntarnos cosas sobre el sistema? Podemos explicar nuestra propia existencia? Quizás la pregunta va demasiado lejos, hay cosas que no podemos demostrar que encuentran en niveles mucho más bajos. ¿Puedes demostrar que no estas soñando ahora mismo? No puedes, y sencillamente no puedes, porque tendrías que hacer alusiones a elementos que considerarías reales y realmente los desconoces, no conoces el sistema fuera de lo que tu realidad te ofrece, por lo tanto no puedes asumir una respuesta basada en como ha de ser el mundo fuera. Como dijo bien Bertrand Russel, ¿puedes probar que el Universo  no ha sido creado hace 5 minutos junto con la memoria y poniendo todas las cosas donde están? No puedes, volvemos a chocar con el borde de la burbuja. Nuestra vida podría ser una simulación informática muy compleja y si se diera el caso de que está perfectamente estructurada, o es consistente o es completa, pero en ningún caso las 2, por lo tanto no podemos saber nada sobre donde estamos realmente. Seguramente todos los lectores pensarán en Matrix sin embargo yo pienso en el Show de Truman, y aquí es donde termino de darle sentido al título de la entrada.

La vida de Truman es un espectáculo televisivo que ha retransmitido toda su vida desde su nacimiento, todas las personas que le rodean son actores y la región donde vive es un plató gigantesco. Para evitar que Truman intentara salir de ahí consiguieron crearle una fobia a viajar. Su mundo no es diferente al nuestro con la diferencia de que es ideal. Vive los entes exteriores quieren que viva sin quitarle libre albedrío pero consiguiendo crear situaciones manipuladas que acabarían llevando a Truman a un desenlace medianamente controlado. Nada puede hacerle dudar de su existencia excepto pequeños fallos en la estructura de su realidad que no entiende logicamente, y esta es la gracia de la película, y de la filosofía que se consigue extraer de ella. Truman llega a sentirse observado o perseguido, observa patrones repetitivos para los que no tiene explicación. Se hace preguntas no muy diferentes a las que nos hacemos nosotros, y es que ni él ni nosotros podemos llegar a saber si lo que creemos que hay fuera es lo que hay realmente. Todo lo que vive dentro de nuestra burbuja es nuestro universo infinito, un paisaje dibujado por nuestras expectativas propias, o quien sabe si manipuladas.La estructura del mundo de Truman es inestable, pero el nuestro no, sus preguntas tienen respuestas, las nuestras no, puesto que no podemos tocar el borde de nuestra realidad, y mucho menos plantearnos lo que puede haber fuera. El viaje de Truman a través del entendimiento es la trama de la película y la gracia, si ese contacto entre el exterior ni el interior no existiera la película no tendría sentido, veríamos una historia normal y un mundo exterior que podría ser cualquier cosa, que lo que haya fuera sean personas o pulpos gigantes no afectaría a la vida de Truman, tampoco la existencia de dioses.
¿Podría ser nuestra vida un espectáculo de televisión? Perfectamente, pero no puedes saberlo, ni afectará a tu vida que lo sea.Tampoco afectaría a tu vida la existencia o no existencia de pulpos o dioses. La estructura de nuestra realidad es consistente e incompleta, o completa e incosistente, pero está bien definida, por lo tanto no podemos tener contacto con el exterior; preocuparse entonces es tontería.
Si a alguien nuestra realidad infinita se le hace pequeña solo hay que echarle un vistazo al universo, conocer un poco la física cuántica, e interesarse un mínimo por la complejidad de la vida y la consciencia. Sea lo que sea lo que haya fuera, algo, o nada, la importancia que tiene es igual a 0.

Para concluir dejo el corto que me sirvió de inspiración. Unos estudiantes de cine en Alemania rodaron un fragmento de la vida de Gödel, de ya avanzada edad, en el que él mismo se pregunta si su realidad es un cortometraje, naturalmente no lo puede demostrar y se desespera por ello. Ciertamente curioso.


Gödel from Igor Kramer on Vimeo.

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