Universos paralelos

Hoy en día hablar de universos paralelos no parece tan descabellado como lo parecía hace 10 años; un tema que parecía mas propio de la ciencia ficción hoy en día se discute en salas de conferencias y con pizarras llenas de ecuaciones. Es impresionante no solo el hecho de que las teorías físicas y las matemáticas nos hayan puesto en ese camino, sino que la física experimental se acerca cada día más a poder demostrar con experimentos que el concepto no ha salido de la mente de algún loco. Para tomarle importancia al asunto sólo hay que plantearse la cantidad de dinero invertido hoy en el acelerador de hadrones del CERN en Ginebra, o en el Fermilab de Illinois, que, entre otras muchas cosas por supuesto, intenta demostrar la existencia de estos universos alternativos que no podemos percibir de ninguna forma.

Para no meter la pata, primero que nada he de decir que todo lo que expongo son una colección de ideas a las que me lleva constantemente mi razonamiento, apoyadas en una gran serie de ideas ya propuestas por físicos, probadas o por probar, que se han dado a conocer a través de diversos medios. Sobra decir que agradezco enormemente la discusión y cualquier comentario al respecto que corrija o confirme cualquier cosa sobre la que pueda opinar aquí, sin duda la mejor forma de llegar a conclusiones cada vez más acertadas, concepto que aplico constantemente a mi vida diaria.

Creo que el desencadenante de todas estas ideas fue el experimento del gato de Schrodinger; como hoy en día es algo que ya pertenece más o menos a la cultura general no me alargaré explicándolo, pero para el que no lo conozca dejo un vídeo que lo explica bastante bien.

Como ya se sabe existe una propiedad de las partículas llamada superposición, lo que quiere decir que a nivel cuántico pueden existir en 2 posiciones en el espacio al mismo tiempo, y no hay que pensar que la segunda es una copia de la partícula, o un trozo, es exactamente la misma, pero aquí no termina ya que no tienen por que ser 2 posiciones distintas, pueden ser muchas. Empeorando lo que nos cuesta imaginar la superposición también tenemos el entrelazamiento, lo que viene a ser que cualquier cambio en el estado de una supone el mismo cambio para sus replicas, estén donde estén, incluso si están al otro lado del universo, lo que lo hace aún más curioso, ya que este intercambio de información sucedería a una velocidad mayor que la luz si pensamos en que viaja de alguna forma, o que por muy lejos que disten entre si, siguen conectadas de alguna forma. Schrodinger intentaba demostrar la paradoja que suponía el concepto de la superposición cuando pensamos en objetos macroscópicos, cómo puede estar algo vivo y muerto a la vez, o que fuerza es la que provoca que una vez abierta la caja sólo se de uno de los dos estados, ¿por qué?

Todo esto está relacionado con el principio de incertidumbre, cuánto podemos observar, o medir. Heisemberg demostró que donde se termina la física clásica todo empieza a funcionar en base a probabilidades. No podemos medir el estado de una partícula (donde está y a donde va) sin alterar de alguna forma la medición, a mayor precisión sobre la posición, mayor inexactitud sobre la velocidad y viceversa; por lo tanto, a pesar de que nuestra realidad nos presente las cosas de alguna forma específica, sabemos que hay un abanico de posibilidades que no estamos viendo, pero que no desaparecen del mundo cuántico  En resumidas cuentas debemos hacernos a la idea de que la realidad es mucho más amplia de lo que podemos observar o medir, cuando abrimos los ojos el universo cuántico a nivel macroscópico toma una forma específica, la que vemos, al que vivimos. Ahora la gran pregunta es qué pasa con todo lo que no vemos, ¿existe? Si abrimos la caja y el gato está vivo, ¿donde se han ido todas las posibilidades que habían de que no lo estuviera? Los físicos responden, no se han ido a ninguna parte, todo sucede, pero sólo somos conscientes de una de ellas.

Voy a remontarme a una de mis entradas anteriores.

Cuando hablaba de que en cuatro dimensiones nuestra linea temporal sólo es una de las muchas posibles en un mar de lineas temporales tomaba sentido el pensar en 5 dimensiones. Si detenemos el tiempo en nuestra posición actual, con nuestro pasado en mente y nuestras perspectivas de futuro, sabemos que nuestro instante siguiente en el tiempo depende de una decisión, una posible entre millones de millones que determinará nuestra próxima dirección en esta quinta dimensión, pero es más complejo, nuestro pasado determinará que hay un porcentaje mayor de posibilidades de que tomemos un camino y no el otro, pero nada nos garantiza que vamos a tomar el evidente, o el conveniente, incluso el más lógico. Tomemos la decisión que tomemos, que sucede entonces con todos los caminos no elegidos, ¿no suceden? A nivel cuántico sabemos que las partículas no deciden, las partículas toman todos los caminos que dictan sus probabilidades, existen aquí y allí, y son la misma, pero el observador (en este caso nosotros) vemos un camino y una partícula. A nivel nuestro la lógica nos invita a pensar que la materia de la que estamos formados en este instante del tiempo cuando tomemos nuestra decisión tomará todos los caminos posibles y eso va desde la completa desintegración de nuestras moléculas, hasta que se mantengan juntas en nuestro cuerpo tomando un camino muy parecido pero diferente, quizás drásticamente diferente. Naturalmente como ya hemos visto somos los observadores de nuestra realidad, así que tal y como solamente veríamos al gato vivo o muerto, seremos conscientes de uno solo de nuestros caminos, el resto están ahí, coincidiendo en la posición, coincidiendo en el tiempo, pero no coincidiendo en la variable que determina un estado distinto en una quinta dimensión.

En este punto yo creo que el concepto de multiverso ya se hace viable, podemos afirmar con lógica que existen alrededor nuestro caminos temporales distintos donde tomamos decisiones distintas, o donde las decisiones que tomamos hace 20 años nos llevaron a desenlaces tan distintos que somos personas completamente diferentes, y nuestra imaginación se dispara. Podríamos ser multimillonarios en otra linea temporal? Podríamos ser indigentes? Que decisiones en nuestro pasado podrían habernos llevado a desenlaces tan opuestos a nuestra vida? En muchas lineas temporales podríamos estar incluso muertos, retrocediendo incluso más atrás podemos pensar que existen universos donde ni siquiera hemos nacido.

Si retrocedemos más todavía y nos plantamos directamente en la creación del universo tenemos que imaginarnos que debería aplicarse la misma lógica. El universo podría no ser como lo conocemos, la vida podría haberse engendrado en otro planeta, en otra galaxia, o directamente nunca haberse engendrado. Puede que en alguna linea temporal las condiciones que permiten que la materia se forme no se hayan dado. En física existe algo llamado la Constante de Planck, variar una trillonesima esa cifra significa alterar drásticamente las leyes físicas que permiten la constitución de la materia tal y como la conocemos; en este mar de infinitas posibilidades, nuestra consciencia se transforma en algo por lo que sentirse afortunado.

Albert Eisntein dijo en su día que la gravedad no tenía por qué ser una fuerza débil, comparándola con el resto de fuerzas electromagnéticas, si no que la gravedad podría ser algo que afecta a más dimensiones y lo que percibimos aquí sería una fracción de una fuerza más grande. Esto quiere decir que la gravedad sería capaz de viajar entre estos universos paralelos, y no es algo que se tome a broma. Una de las pruebas que los científicos buscan en los aceleradores de partículas de la existencia de estos universos tiene que ver precisamente con esto. Hasta ahora el gravitón, la partícula fundamental de la gravedad, sigue siendo teórica, pero su descubrimiento podría cambiar mucho las cosas. En los experimentos, si una partícula de las generadas desaparece, o si una parte de la energía se pierde, demostraría no sólo la existencia de estos uiniversos, sino que la comunicación entre ellos es posible; no me quiero ni imaginar las repercusiones de un descubrimiento de tal magnitud, y están a la vuelta de la esquina.

Son muchas las preguntas y paradojas que nos podemos imaginar sobre este tema. Uno de ellas nos invita a pensar en la forma del universo; cómo se distribuyen en el espacio-tiempo, a qué forma del universo daría lugar. La teoría M plantea la distribución de los universos como membranas de algo mucho más grande, cada una pegada a la otra de forma infinitesimal; de esta forma tenemos al lado nuestro un universo que es muy parecido, cambios infinitesimales con desviaciones muy leves. A medida que nos alejamos de nuestra realidad deberían desarrollarse diferencias mayores, hasta llegar a las más drásticas, y finalmente hasta donde ya no estamos; dejando de lado la posibilidad de que en otra más lejana, y con un hueco al medio podríamos volver a "existir". Esto me lanza ideas a la mente sobre nuestra posible forma en más dimensiones, como si la que podemos percibir fuera un corte dimensional que nos deja percibir la membrana en la que existimos; de esto ya he hablado en alguna entrada anterior, y veis ahora que toda lógica matemática tiene representación en la realidad, en la nuestra, en alguna, o en todas a la vez, aunque nuestro cerebro no nos permita ver más allá.

Lo que me apasiona de estos temas es que vivimos una época ya dejan de ser ideas locas que alimentan la ciencia ficción, o la locura de algún visionario, todo va tomando forma, todo lo que nos estamos perdiendo empieza a ser poco a poco parte importante de nuestras vidas.

Sin duda volveré sobre estos temas, una vez atrapado en el agujero de conejo, no hay vuelta atrás.

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La paradoja de la realidad

Hace unos días una amiga me pasó un link a un experimento filosófico llamado "cerebro en una cubeta", un concepto que para pocos será nuevo, pero que si simplifica de manera perfecta todas y cada una de las ideas que hemos visto repartidas por el cine y la literatura, sumadas a las confusión que casi todo ser humano ha mantenido alguna vez sobre su propia realidad. En resumidas cuentas viene a ser un cerebro flotando en una cubeta que le proporciona lo que necesite para no morir, y salvo por la ausencia de cuerpo, mantiene todas las funciones, lo que quiere decir que recibe e interpreta los impulsos nerviosos, y por supuesto responde. Vamos a suponer que podemos proporcionarle esos impulsos con un ordenador, o la maquina hipotética que haga falta.

El potencial de este concepto es impresionante.

Lo primero que se me vino a la cabeza fue un documental de la BBC llamado: "Somos Reales?". Un documental que nos sumerge en el mundo de lo que desconocemos aun, los límites próximos de la física y la tecnología, y de la inteligencia humana; ésto último una de las cosas para mi más intrigantes, y es que al parecer el cerebro humano ha alcanzado un nivel de complejidad poco superable. Cuando pensamos en alienígenas con una inteligencia superior nos los imaginamos con la cabeza más grande que nosotros, pero al parecer ya se ha concluido que un cerebro mayor no alcanza el nivel de eficiencia del nuestro, debido a que los impulsos nerviosos serian más lentos, supongo que debido al tamaño. La pregunta entonces se vuelve más complicada, cuál es el límite del entendimiento, o de qué forma se alcanza un nivel superior. El documental avanza por la física hasta llegar a nuestro límite actual, plantea algunas posibilidades, y alcanza una conclusión lógica de las que no te dejan dormir tranquilo. Lo que lo hace, desde mi punto de vista, más recomendable, es el hecho de que no mira hacia atrás, no se pregunta de dónde venimos, analiza nuestras posibilidades en el futuro y tan sólo por comparación miras hacia atrás con el corazón acelerado y la frente sudorosa.

Es fácil tan solo observando el patrón actual que nuestra vida cada vez tiene más repercusión de forma virtual; la vida social de todo aquel con acceso a internet ha cambiado la vida de mucha gente, y hay quienes hoy en día tienen más vida social a través del código binario que con la gente tridimensional. No cuestiono si esto es bueno o malo, cada uno tendrá su opinión, pero yo me hago preguntas, ya que a veces la vida online es más cómoda, o más interesante para muchos. Algunos viven aventuras con criaturas fantásticas, conocen avatares de otros y se enamoran, tienen familias virtuales... Incluso hay quien juega a tener una vida normal, para escapar de su vida normal. Hace 10 años esto no sucedía, o no era tecnológicamente viable que sucediera a esta escala, cuál será la escala dentro de 20 años, o mejor, dentro de 500.

Llegados a este punto podemos hacernos la pregunta de qué es la realidad, o que es lo que hace a la realidad "real"; ¿lo que vemos? ¿lo que oímos? ¿podemos decir que todo es real porque podemos tocarlo? No es tan simple, y no es simple por culpa de nuestro cerebro supercomplejo.

En algún momento, un cambio energético hace saltar una onda electro-magnética, atraviesa el vacío espacial, entra en la atmósfera y se refracta, continúa su camino, vuelve a desviarse (saber por qué) y se deja energía, cambia su camino y su frecuencia y recorre un poco más el fluido gaseoso, entra en nuestro ojo, pierde parte de su energía y la gran mayoría rebota para seguir viajando, la pequeñísima parte que se queda se proyecta en la retina, y un impulso nervioso corre con su mensaje para el que interpreta, el que interpreta abre el mensaje y dice: "verde". De todo este proceso lo único que podemos afirmar es que recibimos el mensaje, y pone verde; el resto es un proceso deductivo e interpretativo, ayudado por el resto de mensajes que nos llegan de aquellas partes de nuestro cerebro que creemos que interactuan con el exterior, pero desde aquí dentro no podemos garantizar nada. Nuestro cerebro es TAN bueno haciendo su trabajo, que toma todos los mensajes y concluye un esquema de la realidad, sin embargo el problema está en que lo que hay en comparación con lo que recibimos es una miseria, así que como todo sabio, lo que no sabe se lo inventa. Concluye que es lógico que la materia sea continua (no lo es), o nos hace pensar que podemos tocar las cosas (no lo hacemos), o nos hace dar por sentado que lo que tenemos en nuestra memoria ocurrió en realidad (no tiene por qué). Bertrand Russel usó esto último como uno de sus argumentos en contra del creacionismo, y es que hay mucha gente (mucha) que dice que como no podemos demostrar que dios NO existe, él dice que tampoco podemos afirmar con certeza de que dios no creó el universo hace 5 minutos, con todo lo que contiene tal y como está, y dotados todos de falsas memorias. Si fuera como dice Russel, ¿cual sería la diferencia?

Una cosa sabemos con certeza , nuestro cerebro no recibe toda la información del exterior, la experiencia y su capacidad lógica hace que nos dibuje algo coherente, algo que no contradiga interpretaciones de otro posible cerebro ajeno al mio con el que me comunique, pero no nos podemos fiar de él para poder afirmar algo sobre el exterior con certeza, es más, la que tenemos es muy poca.

Para no deprimirnos, eso si, hay que pensar que lo que sabemos es suficiente, nos permite encontrar patrones, nos permite comunicarnos, y nos permite aprender; poco más necesitamos para vivir.

Llegados a este punto es inevitable preguntarse qué es lo que hay fuera exactamente; y es que podría ser cualquier cosa! Cualquier cosa que hiciera que nuestro cerebro recibiera sus mensajes, y que recogiera los que enviamos nosotros, y que retornara otra vez con la respuesta, en pocas palabras, que interactúe.

Ahora mismo me viene a la mente la película "The Truman Show" en la que un personaje nace y vive en un plato de televisión gigante, interactuando solamente con actores que se encargan de dar forma a su vida y a sus recuerdos, todo por supuesto dirigido. Estoy convencido que muchos nos hemos planteado esa fantasía en algún momento, un sentimiento algo agobiante si piensas que realmente lo único autentico que tiene tu vida eres tu. Podemos complicarlo más aun y pensar en "Matrix", donde tu cuerpo sirve de fuente de energía para máquinas mientras mantienen tu cerebro ocupado viviendo una vida; ahora, en Matrix interactuas con otras personas "reales", pero tiene que ser así? si fueras el único en este "software" cómo notarias la diferencia? si los programas interactuaran de forma correcta no podrías, o lo que es peor, si actuaran de forma incorrecta no lo sabrías, puesto que no conoces otra cosa! 

Volviendo al punto del principio debemos analizar que hay 2 motivaciones muy grandes que tiene la humanidad en conjunto, en lo que a tecnología se refiere; mejorar la vida, y alargarla. Alargar la vida es algo innato a todo ser vivo, todos y todo lo biológico sabe que si vives más tienes mas oportunidades de esparcir las copias de tus genes; a nosotros no nos queda mucho de ese instinto, pero por alguna razón queremos vivir mucho, nuestro enemigo es el tiempo, y nuestro cuerpo. ¿Es un impedimento nuestro cuerpo? Nuestro cuerpo se dedica plenamente a alimentar el cerebro, a darle sangre, oxigeno, glucosa, todo lo que necesite, pero nuestro cuerpo a su vez esta controlado por nuestro cerebro, si mantenemos las interacciones, si mantenemos el alimento, y el cerebro recibe los impulsos necesarios para construirte una realidad y una vida, nuestro cuerpo es prescindible en lo que al "exterior" se refiere. Nuestra vida se conforma de una realidad instantánea, y de una memoria, y con la tecnología suficiente no parece tan difícil de conseguir algún día, aunque no podamos concebir aun que nuestros recuerdos quepan en un pendrive, con nuestro cerebro en una cubeta; si podemos elegir una vida en un catálogo, aspiramos a elegir siempre una vida mejor que la que tenemos, o si nos es posible, la que queremos.

Todo esto no es fantasía, no es una película de hollywood, o las divagaciones de un paranoico; todo esto lo hacemos a diario. Al dormir experimentamos realidades diferentes, situaciones y sensaciones casi aleatorias que nuestro cerebro construye mientras nuestro cuerpo permanece inactivo; es un momento en el que la realidad exterior deja de existir para nosotros. Soñando no nos importan las leyes físicas ni la coherencia, el universo es distinto y lo asumimos real tal y como lo estamos soñando, si alguien en el sueño se nos acerca y nos dice que lo que estamos viviendo no es real, puede que nos riamos de él.

Una vez despiertos aquella realidad desaparece, yo soy de los que casi no pueden recordar sus sueños, pero hace poco supe que hay gente que no solo es capaz de recordarlos perfectamente, sino que puede tener sueños lúcidos, lo que quiere decir que son dueños absolutos de sus sueños; son capaces de estar plenamente conscientes de si mismo mientras sueñan, se dirigen en su realidad de turno, y dirigen incluso la forma de su realidad, pueden hacer lo que quieran, y todo eso bajo el convencimiento de que están viviendo  algo real. Dicen que hay gente que nace con este don, pero que también es posible entrenarlo, con una advertencia, el mundo real puede ser decepcionante en comparación, con el tiempo te vuelves adicto a soñar.

Este deseo incontrolable de una vida mejor, o una realidad mejor, creo que nos puede llevar algún día a terminar metiendo nuestro cerebro en una cubeta; pero bueno quien sabe, quizás ya lo hicimos.

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J.S. Bach: Canon Cangrejo

Allá por el año 1747 el maestro y genio de genios Johann Sebastian Bach fue invitado por el rey Federico el Grande a su residencia en Potsdam. El rey era un melómano reconocido, tocaba la flauta y componía; y ardía en deseos de mostrarle a Bach una melodía propia, y además, desafiar al maestro, conocido por su capacidad de improvisación, a componer en el momento una fuga con su canción. Cuentan que Bach salió airoso del desafío de forma legendaria, dejando una muestra de una capacidad intelectual digna de muy pocos. Tiempo después vio la luz una colección de piezas musicales, que Bach llamó: Ofrenda Musical; una serie de composiciones (fugas y cánones) todas basadas en la melodía de Federico.

Todavia hoy la Ofrenda Musical de Bach sigue abriendo bocas y provocando preguntas. Las partituras eran cortas y con algún tipo de significado que quizás solo entendería el rey; algunas llevaban inscripciones debajo tipo: Quaerendo invenietis (buscando encontraréis). El "Canon por Tonos" una de las más conocidas se caracteriza por conseguir un bucle infinito que asciende eternamente, bueno, mientras dura la pieza; de alguna forma conecta el final con el principio, una estructura que no alcanzo a entender con mis escasos conocimientos de solfeo.

De todas formas el tema que me trae es uno de los cánones en particular, el Canon Cangrejo.

La gracia de esta pieza corta es que comienza con una estructura simple y al llegar al  final invierte los tiempos, digamos que suena al revés. Al volver al principio suena el tema de verdad, usando una voz en un sentido, acompañada por la misma partitura invertida, la cual vuelve a comenzar de cabeza acompañada por la misma en el primer sentido. De esta forma el tema puede continuar cuanto queramos siempre sonando a 2 voces. Lo más curioso desde el punto de vista matemático es que la composición encaja perfectamente en una banda de Möbius, a la que hago referencia en la entrada anterior. Es bastante difícil de describir así que lo mejor es que veáis el vídeo a continuación.

Pocas palabras tengo para expresar mi admiración por Bach, quien junto a Escher llaman muchísimo la atención a los matemáticos, sobre todo por el hecho de que Bach compuso esta pieza mucho antes de Möbius describiera la banda. Más adelante dedicaré alguna entrada al libro que describe la relación entre estos 2 genios y el matemático Gödel a traves de los bucles infinitos: Gödel Escher Bach.

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La botella de Klein

Un matemático llamado Klein 
Pensó que la banda de Möbius era divina 
Dijo él: “Si tu pegas 
Los bordes de dos, 
Obtendrías una extraña botella como la mía

La entrada anterior me viene de perlas para introducir esta curiosidad topológica, ya que hablamos de un objeto de 2 dimensiones curvado en 4; suena muy raro pero enseguida le encontramos la lógica a la figura.

Para el que no lo sepa la topología es una rama de las matemáticas que estudia las formas, en resumidas cuentas, pero no desde el punto de vista del tamaño, ni siquiera de la solidez, solamente piensa en conjuntos de puntos que forman un espacio y que cumplen ciertas propiedades de interconexion. En topolgía una esfera es igual a un balón de rugby, puesto que puedes obtener uno deformando el otro, sin embargo no podemos deformar un balón de rugby para obtener un donut, por culpa del agujero del centro, por lo tanto son distintas. De esta forma, una hoja de papel, por ejemplo, podemos estirarla hasta el infinito sin afectar a sus propiedades, incluso podemos doblarla y seguiría siendo el mismo espacio topológico, osea la misma figura. Una figura de esta forma no tiene problemas con atravesarse a si misma, a menos que nosotros voluntariamente le otorguemos la propiedad de la solidez, y digo que un problema así en topología se solventa añadiendo las dimensiones necesarias, con la única dificultad de que nos cuesta más imaginarlo, o representarlo, pero no es imposible.

Aclarado este punto debemos pensar la banda de Möbius, que imagino será conocida entre la mayoría, por si acaso aclaramos un poco el tema.

Tomamos nuestra hoja de papel de 2 dimensiones y la deformamos hasta tener una cinta; esta cinta tiene 2 caras y 2 bordes laterales sin dimensión que separan una cara de la otra, hasta aqui está todo claro.Un recurso topológico es la identificación, o "pegado", matemáticamente decimos que identificamos todos los puntos de un borde con los de otro, osea que los igualamos, trivialmente decimos que tomamos un borde lateral y lo pegamos al otro, y punto. Lo que obtenemos es un cilindro, cosa que no parece tener demasiada gracia, pero paciencia; lo que si que hay que tener en cuenta es que nuestro cilindro solo tiene 2 dimensiones, nuestro universo es la hoja de papel, no el hueco del cilindro, y nuestra cinta no ha cambiado gran cosa, solo que ha perdido los bordes laterales, pero sigue teniendo 2 caras, una de ellas mira hacia el interior y la otra al exterior. La única diferencia con nuestro espacio anterior es que este esta curvado en la tercera dimensión, pero sigue teniendo 2, importante. Guardamos nuestro cilindro en la memoria, después volveremos a el.

Recuperamos nuestra cinta para seguir jugando con ella; todo esto que hacemos podemos experimentarlo con una hoja de papel y pegamento, incluso la banda de Möbius. Si ahora nos fijamos en los bordes pequeños de la cinta podemos repetir el experimento y obtener un cilindro más achatado, en lugar de escogemos uno de los bordes, solo uno, y lo giramos 180º, si lo pegamos al otro borde girado el resultado ya no es un cilindro, sino la banda de Möbius. Esta nueva figura es un espacio de 2 dimensiones igual que hasta ahora, pero la gran diferencia es ahora solo tiene una cara y un solo borde; podemos verlo o probarlo recorriendo el borde con el dedo, o pasando un lapiz por su única cara. En el clásico dibujo de Escher con las hormigas, se ve como las hormigas caminan haca adelante por la banda, al dar la primera vuelta vuelven de cabeza, y en la segunda vuelta alcanzan el punto de partida, todo esto solamente avanzando por la banda. Sobra decir a estas alturas que la nada de Möbius tiene 2 dimensiones, y esta retorcida en la tercera.  Mi próxima entrada en el blog enlazara con esto para relacionarlo con Johann Sebastian Bach, algo para dejar boquiabierto a cualquiera.

Vamos entonces al asunto que nos trae.

Para construir la botella de Klein tenemos que volver al cilindro, 2 dimensiones, un interior, y un exterior; tenemos que recordar también que podemos estirar el cilindro a nuestro antojo, siempre que no lo rompamos. Es imposible formar de verdad una botella de Klein, aunque podemos ver representaciones 3d por ordenador para hacernos a la idea, incluso hay esculturas, pero todo esto tiene un problema que veremos evidente enseguida. Lo que si nos podemos imaginar es la primera transformación evidente que le podemos hacer con el cilindro; podemos tomar los bordes y pegarlos entre si usando la tercera dimensión, el resultado es fácil, el toro, comúnmente visualizado como un donut. Insistiré en el hecho de que no estamos contando con el interior de la figura, solo con el espacio plano, el toro sólo tiene 2 dimensiones, y en éste casi distinguimos la cara que da al interior encerrado, y la cara del exterior. Éste hecho es importante para entender cómo se forma la botella de Klein, antes de hacer nada recomendaría imaginar cada cara del cilindro pintada de un color distinto. El proceso para la banda de Möbius era girar un borde 180 grados, esta vez hacemos lo mismo, solamente con la dificultad de imaginarse el giro, ya que hemos de hacer coincidir el interior con el exterior del cilindro. Es muy difícil de explicar con palabras, asi eu dejo un video para que se vea claro. Solo recordar que el cilindro lo podemos estirar cuanto queramos y la figura no pierde sus propiedades.

Y ya la tenemos!

Supongo que ya os habreis fijado en el problema, la botella de Klein se atraviesa a si misma; ésta es la razón por la que esta figura se consigue solamente con 4 dimensiones, necesitamos una dirección extra para poder invertir el interior y pegarlo al exterior sin que se intersecte, esos puntos que en nuestras representaciones tridimensionales parecen unidos (o como si hubiéramos hecho un agujero en la botella) en realidad son puntos distintos. La curiosidad principal es que la figura es una de las superficies (2d) conocidas no orientables, lo que quiere decir que solo tiene una cara, y a diferencia con la banda de Möbius, no tiene ningún borde. Nos podemos hacer una idea con este video de un ciclista recorriendo su superficie.

Curiosamente, y se refleja también en el primer vídeo, es que si cortamos una botella de Klein por la mitad el resultado es nada más y nada menos que una banda de Möbius! cosa que tiene mucho sentido una vez bien meditado, al final no es más que construir el cilindro a partir de la banda ya retorcida. Como topologicamente podemos estriar lo que queramos la superficie, podemos entender que la forma de botella que le damos es completamente arbitrario; podemos hacer lo que queramos con ese espacio siempre y cuando no alteremos las propiedades. La palabra alemana que uso Klein cuando la describio por primera vez se parece a la palabra botella, así que se confundieron al traducirlo, y asi se quedo.

Cuando vi la figura por primera vez lo que me dejo impresionado es el hecho de no poder identificar el interior del exterior, puesto que no tiene; cuando vemos representaciones por ordenador o incluso esculturas la forma de botella tiende a engañar a nuestro cerebro y la relacionamos con la botella clásica. Nos cuesta muchísimo (o simplemente no podemos) imaginar la forma verdadera de la figura. A mi me provoca mucha curiosidad pensar cuantas formas más pueden existir usando el brazo de la 4ª dimensión, que no tienen por qué ser infinitas como se podría pensar; cuántas podríamos pensar si en vez de superficies torcemos espacios 3d. Es por esto que me llama la atención la topología, al topólogo le da igual la representación 3d, lo observa todo como quien observa el mundo solamente a través del código de Matrix.

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Imaginando la décima dimensión

Como ya nos proponían en Flatland, podemos preguntarnos perfectamente si la realidad puede contener más dimensiones de las que podemos percibir, osea 3, y me olvido del tiempo como 4ª porque nadie que yo conozca es capaz de apuntar con su dedo en la dirección de una hipotético eje perpendicular a nuestros 3, y aunque pudiera mi cerebro humano jamas recogería esa información.

Imaginando la décima dimensión es el vídeo promocional de un libro escrito por Rob Bryanton , al parecer un científico que se ha dedicado en estos últimos años a la divulgación de éste tipo de ideas, digamos alcanzar la lógica de cuántas dimensiones necesitamos para representar toda la realidad, o intentar comprender conceptos complejos como el tiempo y sus paradojas. Éstas entre otras cosas que he conseguido encontrar por internet ya que este señor no parece muy interesado en traducir su libro ni su blog ni nada de lo que hace;  aunque por lo menos el vídeo esta subtitulado. No he conseguido encontrar el libro en español por ninguna parte así que todas las ideas y conclusiones que comento que no aparecen en el vídeo son de cosecha propia. Lo que intenta básicamente es comenzar con el concepto de punto para proponer una respuesta lógica a medida que aumentamos dimensiones, pasando por los conceptos triviales de linea y plano; en ésta primera parte del vídeo hasta una 5ª dimensión, sobre las dimensiones que faltan, hasta la décima, escribiré la próxima vez para no sobrecargar a los posibles lectores; a mi por lo menos se me hizo difícil y tuve que ver el vídeo varias veces para quedarme con los conceptos claros.

Al ataque.

Recordamos 1º de la enseñanza básica, un punto, ¿que es un punto? una posición, unas coordenadas sin ninguna dimensión que representa un lugar infinitesimal exacto, si lo alcanzamos con el dedo, siempre cubrimos más superficie de la que tiene, igual que si lo tocamos con la punta de una aguja. El punto tiene dimensión 0, ni ancho ni alto, ni largo.

Como nos ilustra el vídeo, si tomamos 2 puntos podemos unir los 2 con una única linea recta: Una linea tiene  1 dirección y 2 sentido: norte y sur, derecha e izquierda, arriba y abajo, adelante y atrás... lo que queramos, pero 2 a la vez. La linea es el universo, todo lo que viva ahí son fragmentos de 1 dimensión, segmentos mas largos, mas cortos, o puntos. Hemos de pensar que nuestra dimensión 1 no tiene por que ser firme, si la torcemos, como si curváramos un alambre, o un hilo, nada de lo que viva ahí se daría cuenta, pues no hay mas universo que esa linea, ni siquiera variarían los 2 sentidos, de la misma forma que nuestros meridianos nos dicen donde esta el norte y donde esta el sur, a pesar de ser lineas curvas. Éste concepto de curvatura es vital para entender lo que viene.

Muchos podrían pensar que la linea necesita de una segunda dimension para poder curvarse, y es cierto, la necesita, pero el universo no adquiere otra dimension por eso; para conseguir otra dimensión necesitamos un punto exterior a la linea, osea que nuestra linea no pude pasar por el. Uniendo este punto con la linea ganamos una direccion nueva y 2 sentidos mas: este y oeste. Nuestra linea infinita pasa a ser un plano, infinito si queremos, o como una hoja de papel, o el universo de Flatland. las figuras que nos permiten las 2 dimensiones son mas complejas, tenemos todo tipo de seres planos, poligonos... manchas... o charcos de agua. Si vivimos en un charco de agua podemos observar fenómenos como el de 2 circulos pequeños que crecen, se juntan en uno solo grande, vuelven a ser 2 circulos, y empequeñecen hasta que desaparecen; alguno ya habra adivinado que una persona de 3 dimensiones acaba de pasar por el charco, pero eso para nosotros seria inexplicable, puesto que nadie ahi pude señalar en una tercera direccion. Éste ejemplo nos muestra el fenomeno observable al reflejar objetos de dimensiones superiores en inferiores, en este caso solo vemos los cortes bidimensionales que corresponden al universo de turno, una loncha, una sombra, o un fotograma. También hay que pensar en que, al igual que la linea, un universo plano puede curvarse, naturalmente en una tercera dimensión, como quien dobla una hoja de papel. Podemos incluso juntar partes, como se ve en el vídeo, y reducir las distancias entre los puntos, si juntamos los bordes de la hoja al llegar al final estaríamos al principio, como en aquel primer juego de Mario en el que si corrías hacia la derecha desaparecías y aparecías por la izquierda, naturalmente el fontanero jamás entenderia porque pasa eso, para el seria lo normal.

Hipercubo

De nuevo la curvatura de un espacio plano nos indica la presencia de otra dimensión no perceptible, pero que ahi esta, la tercera; repetimos proceso y tomamos un punto exterior a la hoja de papel, lo unimos, y ganamos otra dimensión  Ahora tenemos 3 direcciones y nuestro cerebro todavía nos permite imaginarlo. Si continuamos con el símil de la Tierra, nuestra dirección tendría los sentidos hacia dentro y hacia afuera, y no necesitamos más ejemplos de figuras en 3 dimensiones que nuestra propia realidad. Lo que si que debemos arrastrar hasta este punto, es la lógica que nos ha permitido pensar que el universo se puede curvar en una dimensión extra, además, es un hecho, y sabemos que la gravedad consigue curvarlo, aunque nosotros no podamos señalar una cuarta dirección, sin embargo, podemos hacer cosas. Una figura tridimensional tiene una proyección en un plano, nada nos impide dibujar un cubo en una hoja, y sabemos que es un cubo, aunque tenga solo las 2 dimensiones de la hoja; la única diferencia es que los cuadrados de los que esta formado el cubo están deformes, aplastados, torcidos para adaptarse a la falta de una dimensión. Las matemáticas y la tecnología nos permiten hoy obtener representaciones tridimensionales de figuras de 4, como el ya muy conocido hipercubo, formado por 8 cubos unidos que se deforman al representarse en 3 dimensiones. Una pregunta muy importante que se hacen hoy los científicos es si el universo podría estar curvado lo suficiente como para que los bordes estuvieran estar unidos, lo que quiere decir que viajar hasta el final significaría volver al principio, sin embargo al ser el universo tan gran, y al estar en movimiento, jamas podríamos notar la diferencia, lo que estaba aquí antes, seguramente ya no estaría al volver. Otra pregunta seria si alguna curvatura nos podría permitir viajar de un punto a otro sin tener que recorrer todo el espacio entre ellos, lo cual sería muy práctico

En este punto las cosas ya se ponen interesantes. Nuestros puntos en el espacio tienen 3 coordenadas (x,y,z) con las que definimos su posición exacta; además sabemos que hay otra dimensión a la que no podemos apuntar aun, en teoría. Lo que hay que pensar ahora es que no solo tenemos en cuenta la posición de las cosas, si no en como cambian; nuestro punto se mueve, la tierra gira y nuestro pelo se cae; por lo tanto hemos de precisar más en las posiciones, a la pregunta de "donde" le añadimos "cuando".

El tiempo es un concepto que todos controlamos por encima, pero que no entendemos por completo; sabemos si que es una parte a añadir al espacio 3d, sabemos que se ve afectado por la velocidad, y sabemos que se ve afectado por la gravedad. Sabemos que tiene 1 dirección (lo representamos con una linea) y sabemos que tiene 2 sentidos: pasado y futuro.

Vamos a imaginar una pelota de ping pong, solo la pelota; cortamos la linea temporal en el segmento en el que la pelota va y viene, como si estuviera grabado. Si congeláramos el tiempo, el resultado seria un espacio  3d con nuestra pelota en el, con su forma esférica, avanzando fotograma a fotograma tenemos más cortes tridimensionales, si reanudamos el tiempo lo que percibimos no es diferente a avanzar fotograma a fotograma.   Solo somos capaces de ver cortes 3d de nuestra vida y de nuestro entorno, no vemos formas de 4 dimensiones. Un ejemplo de forma de 4 dimensiones (adaptada a nuestra imaginación) seria el recorrido de la pelota de ping pong, un gusano blanco que comienza en el primer segundo y acaba en el ultimo. Podemos complicarlo mas aun y pensar que nuestra propia forma comienza al nacer, y acaba al morir; y nuestra conciencia nos brinda fotogramas 3d en forma de la película de nuestra vida. Podemos incluso complicarnos más, pero lo dejare para la próxima entrada cuando entren mas dimensiones.

Hasta el momento asumimos que nuestra linea temporal es recta y esto da muchas cosas que pensar. Lo primero es que si esto es así quiere decir que nuestro futuro está determinado por nuestro pasado, y solo hay uno posible. Dado un punto de tu vida solamente el punto anterior en tu dirección pudo haberte llevado a donde estas, y solamente existe un punto donde dar el siguiente paso, en la misma dirección del anterior; si rebobinamos la vida, volveremos a tomar las mismas decisiones, y, puestos a ser pesimistas, podemos predecir perfectamente nuestras futuras decisiones, todas las lineas del espacio-tiempo están perfectamente entretejidas, e interactuan en un orden y equilibrio perfecto.

Bien, yo no pienso así, y hoy en día la física tampoco, llegados a un punto en el tiempo tienes una cantidad de opciones infinitas, desde las que varían muy poco, hasta las que varían drásticamente; esto es porque la linea temporal también tiene que curvarse, nuestra lógica hasta ahora nos lo ha permitido, hemos curvado todo hasta llegar hasta aquí en una dimensión más que no percibimos, llevamos 5 ya. Si nuestra vida fuera un pelo muy largo, y lo echamos sobre el charco de antes (2d) de cuantas formas podría caer, INFINITAS. Tenemos todas las lineas temporales posibles en un plano, sin embargo solo somos conscientes de una, de ellas, una sola linea con un solo pasado y un solo futuro, y aparentemente una sola dirección. A mi me asombra pensar en que congelando el tiempo en un punto, los siguientes puntos posibles son infinitos, aunque solo consiga ser

consciente de uno, pero me parece mas asombroso el pensar que son infinitos los puntos del paso anterior los que te pueden haber llevado hasta este, aunque solamente recuerdes uno de todos ellos.

Hasta este punto tenemos un plano de lineas temporales y 3 dimensiones espaciales, osea un espacio-tiempo de 5, a partir de aquí empieza el siguiente vídeo, el asunto se pone mas complicado y más difícil de imaginar, pero el debate es más interesante. En el futuro publicaré la segunda parte de este vídeo, pero lo podéis ver aqui si no lo habéis visto aun.

Espero haberme explicado bien. Mucho de esto son conclusiones a las que he llegado meditando a raíz de este video y otros, leyendo alguna que otra cosa sobre física, y lo mejor de todo en algun debate con amigos que a veces dedican un poco de atención a mis frikadas.

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Flatland

Todavía recuerdo cuando, ya hace varios años, paseaba por la biblioteca de la UPV curioseando la secion de matematicas , y me tope con algunos trabajos de antiguos alumnos que supongo consideraron dignos de guardar. Echándole un vistazo rapido a algunos de ellos me encontré con uno que llamó bastante mi atención, si no recuerdo mal, lo habian titulado: "La cuarta dimensión". Un tema que a mi siempre me ha despertado una enorme curiosidad.

El trabajo hablaba básicamente sobre un libro llamado Flatland (traducido aqui como Planilandia), publicado por primera vez en 1884 por Edwin Abbott Abbott; una especie de cuento infantil que relata la aventura de un cuadrado que vive tranquilamente en su mundo bidimensional y se ve forzado a conocer extraños mundos donde sus habitantes tienen 3 dimensiones, o incluso una. El trabajo se dedicaba en cierto modo a explicar el trasfondo del cuento, bastante mas serio de lo que un niño podría extraer de él naturalmente, y realizaba una serie de análisis de las ideas planteadas por Abbott, por cierto muy adelantadas a la época.

Siempre es emocionante leer reflexiones de alguien que ha meditado sobre ciertos temas y ha llegado a las mismas conclusiones que tu, pero es mejor aun encontrarte con ideas nuevas; todo lo que leí en aquel trabajo volvió a poner en marcha mis engranajes cerebrales y mi ansiedad por entender un poco mas los conceptos lógicos sobre las múltiples dimensiones y su relación con la realidad que somos capaces de percibir. El mismo día encargue el libro y no tardó en llegar; y poco tardé en leerlo ya que no es muy largo, a pesar de todo no deja de tener estructura de cuento infantil. Las semanas siguientes a terminarlo era poco capaz de pensar en otra cosa.

El hogar de nuestro protagonista

Edwin A. Abbott te propone un mundo que solo tiene 2 dimensiones. Somos capaces de imaginarlo desde fuera, como la superficie de una hoja de papel, pero lo que cuesta es imaginar como se ven las cosas desde dentro. Nuestro protagonista es un cuadrado, que vive en su acogedora casa pentagonal, con su esposa segmento, y sus hijos triangulares. El mismo nos relata durante la primera parte del libro cómo funciona su sociedad bidimensional, como son sus habitantes, y como se relacionan los unos con los otros; incluso nos explica como consiguen distinguirse, ya que por supuesto sin percepción de profundidad podrían confundirse entre si con lineas rectas, y no sabrían si hablan con una mujer, u otro ciudadano de peor categoría. en ésto último radica parte de la genialidad del libro, ya que Abbott aprovecha su mundo para lanzar una critica social a la sociedad victoriana. En Flatland la categoria de cada polígono se mide por su cantidad de lados, desde los ciudadanos de segunda: triangulos, entre los cuales se encuentran los soldados (debido a su ángulo agudo),  está la clase media: cuadrados, y la clase alta, que va desde los hexágonos hasta los lideres de su mundo, a los que llaman sacerdotes: los círculos. Desde luego las mujeres son las ciudadanas de peor clase, son segmentos, han de entrar en sus casas por la puerta trasera, son muy peligrosas debido a su punzante borde unidimensional, sin embargo son vitales para ellos para la reproducción.

Salvo por estos y algún que otro detalle, su sociedad no es diferente a la nuestra, tienen colegios, hospitales y todo lo que cualquier sociedad necesita. Nuestro protagonista, de hecho, relata su historia desde el manicomio, puesto que después de vivir su aventura e intentar explicarle a la gente que hay 3 dimensiones y no 2, pues es normal que lo tomen por loco.

El viaje de nuestro amigo cuadrado intenta enseñarle matemáticas a su hijo, y éste no hace más que preguntarle cosas extrañas. Al irse a dormir acaba soñando con que es secuestrado e llevado a conocer un mundo de una dimensión, una locura para cualquier habitante de planilandia. Desde sus ojos aquel universo no era mas que una linea con muchas hormigas en forma de lineas mas largas o mas cortas, conoce al rey, y éste no sabe de donde viene la voz del cuadrado. Cuando atraviesa la linea para hacerse visible en ese universo los habitantes lo perciben como una linea, igual que ellos, sin embargo solo explican ese extraño comportamiento alegando a un fenómeno sobrenatural. Lo mas curioso de este mundo es que al no tener la posibilidad de percibir profundidad, ellos mismos no saben que son lineas, se ven entre ellos como puntos. Al no conseguir hacer entender a nadie que hay mas que su universo nuestro amigo se marcha enfadado.

Lo más interesante, llega por supuesto, cuando recibe la visita de un habitante de Espaciolandia. Ahora es cuando el es el ser inferior, el ser incompleto, o el ciego. La esfera que lo visita le habla desde algún lugar que él no ve, desde una dirección que él no puede señalar; cuando la esfera se manifiesta en Planilandia solo se le puede distinguir como un círculo que cambia de tamaño de forma inexplicable. Ahora, el cuadrado tiene la oportunidad de ver cosas que nadie más ha visto, pues la esfera se lo lleva de visita a Espaciolandia. Aquí es donde están las reflexiones más importantes, pues el cuadrado comienza a hacerse preguntas. Siguiendo las mismas progresiones geométricas tiene sentido preguntarse ahora si existen más dimensiones que las 3, si no podría aparecer otro ser que le hiciera la misma jugarreta a la esfera, y a éste a su vez. La vida cambia para el cuadrado, el mundo es mas grande de lo que el creía, el problema es que no tiene forma de explicárselo a los demás, así que naturalmente acaba en el manicomio. La ultima reflexión, y quizas la más extraña es que en un momento llega a ver la dimensión 0, lo que viene a ser un punto, un universo que consta de un solo ser, que lo ocupa todo, dios y habitante a la vez, e ignorante de que existe algo mas

Es impresionante la cantidad de conceptos nuevos que genero el libro en su dia, y las ideas que despierta ahora, sobre todo cuando hablar de más dimensiones ya no es una locura. Podemos llegar a conclusiones lógicas sobre la vida en 4 dimensiones solamente comparando. Por ejemplo, al llegar la esfera a la casa del cuadrado no necesito entrar por la puerta, ya que las paredes de su casa pentagonal no cubren la tercera dimensión. Del mismo modo puede salir de cualquier sitio herméticamente cerrado; y lo que es mas curioso, es que el mismo cuerpo del cuadrado no esta recubierto en 3 dimensiones, así que cualquier ser de una dimensión superior puede verle las tripas; y esto pensando que tuviera tripas, ya que parece imposible que un ser de 2 dimensiones pueda tener tracto digestivo, digamos desde la boca hasta el ano, ya que lo partiría por la mitad. 

Conceptos similares debemos pensar nosotros al imaginarnos una cuarta dimensión. Hay otro eje al que no podemos señalar que resulta perpendicular a los 3 que si vemos. Hoy en día en el Cern se buscan pruebas de la existencia de mas dimensiones, o mas universos. La física teorica incluso ya ha dado pasos al imaginar más dimensiones espaciales; ya se han hecho la pregunta de si seria viable la vida en menos de 3, o en más. Un concepto a tener en cuenta, y muy en cuenta es la progresión geométrica del espacio, pondré un ejemplo: si tomáramos un dado, y quisiéramos duplicar su tamaño, mucha gente diría de primeras que necesitamos 2 dados. En seguida vemos que no, necesitamos 8, debido a nuestras 3 dimensiones, esto quiere decir que la masa del dado al duplicar su tamaño se ha multiplicado por 8 y no por 2. Al pensar en 4 dimensiones la masa de nuestro "hiperdado" se multiplicaría por 16! Si esto parece poca cosa solo hay que pensar en los efectos de la gravedad en relación a la masa.

La verdad es que podría estar todo el día reflexionando sobre más dimensiones, y profundizare más aun en este tema en futuras entradas, tengo material de sobra para mantener el cerebro ocupado muchos años. Dejo aquí un par de vídeos relacionados con el libro. Uno es del genio Carl Sagan, explicando, probablemente mejor que yo el mundo de Flatland; el otro es del simpático genio coprotagonista de la serie Big Bang, Sheldon explicando sus fantasias con Flatland. Espero haber despertado algo de curiosidad en alguno.

http://www.youtube.com/watch?v=JZdrNhhk2O4

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El Conjunto de Mandelbrot

Me ha parecido apropiado que mi primera entrada sea uno de los vídeos que mas me ha inspirado en los últimos años, el Conjunto de Mandelbrot.

Fue la primera figura fractal que se pudo visualizar, estudiada por el pionero de la geometría fractal, el genio Benoit Mandelbrot. Cuando se le ocurrió meter su ecuación en un ordenador pudo apreciar su forma básica, pero no su complejidad. Hoy en dia los adelantos en informatica permiten entrar enormemente en la figura, la cual, por cierto, ostenta el récord guinness como la figura mas compleja conocida. Aún así, la informatica siempre tiene un límite, por lo tanto lo que nos muestra este vídeo alcanza ese límite, hasta donde yo se, no he visto aun alguno que descienda mas. Obviamente al ser infinitamente complejo no es posible llegar a verlo entero, pero la idea está clara.

Con un poco de matemáticas básicas se entiende el esquema perfectamente:

Sobre el plano de los números complejos construimos una sucesión empezando desde 0, obtenemos cada término elevando al cuadrado el anterior y sumándole c, siendo c un numero complejo. Si la sucesión es convergente (tiende a algún número y no a infinito), entonces cpertenece al conjunto de Mandelbrot. Todos esos números (los c) están representados como la parte negra de la visualización, pero esa no es la gracia, si no su borde. Los colores del exterior del conjunto representan la velocidad con la que c hace converger a su sucesión, cosa que le da un atractivo visual mayor y mas complejo. El borde real, el limite que separa el interior del exterior es imposible de ver, pues es infinitamente complejo; a medida que nos acercamos mas y mas vemos como se complica y toma propiedades fractales dependiendo de en qué parte del conjunto estemos, esto tiene que ver con los conjuntos de Julia, pero esa es otra historia.

El vídeo se pasea por algunos sectores del conjunto para ver un poco el patrón fractal que nos encontramos en cada parte, evidentemente es imposible conocerlos todos, pero si que nos podemos imaginar muchos, pues los que están muy cerca entre si son bastante parecidos. Me ha gustado mucho la música que le han puesto para acompañar el vídeo, mejora la experiencia visual y le da un aire más místico.

Recuerdo que la primera vez que lo vi me costo cerrar la boca durante un buen rato. ya me había decidido a estudiar matemáticas (ahora estoy en 1º) y me provoco un interés frenético por la teoría del caos, que espero entender bien algún día. Las repercusiones de la geometría fractal que vino después fueron importantes. El libro "Los objetos fractales" de Mandelbrot ayudó despues a entender muchos aspectos de la naturaleza, la geología, incluso al desarrollo de tecnologia en telecomunicaciones. Sin embargo a mi lo que mas me impresiona es el hecho de como una ecuacion tan simple, puede significar algo tan complejo y tan caotico. Es un gran ejemplo del poder de las matemáticasy de como hasta lo más complejo que podamos imaginar tiene su origen en conceptos logicos a los que podriamos llegar a tener acceso algún dia.

En su momento bautizaron al conjunto como la "huella digital de dios", yo soy ateo, pero creo que el nombre le viene perfecto.

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