Continuidad vs Realidad

El otro día mientras resolvía un problema sencillo de cálculo de probabilidades me encontré de repente en un mindfuck del que no he conseguido salir; me ha parecido una oportunidad ideal para enlazar este tema con mi entrada anterior.

El problema consistía en dos amigos que quedaban de encontrarse en algún sitio entre las 5 y las 6 de la tarde. Ambos llegarían en ese intervalo horario pero ninguno de ellos esperaría más de 10 minutos al otro. Calcular las probabilidades de que pudieran encontrarse.

Estos problemas de probabilidades se resuelven de forma geométrica. Se consideran por pares todos los posibles momentos de llegada de cada uno en un intervalo. Cada posibilidad se convierte en un punto en un cuadrado de coordenadas cartesianas. Imponer la condición de los diez minutos te selecciona una porción de ese cuadrado, se calculan las áreas del cuadrado y la porción condicionada, y voilà! tenemos la probabilidad.

El problema es sencillo pero como siempre mi mente es incapaz de llevarme a lugares sencillos tomando la ruta normal, tengo que pasar por el agujero de conejo.

Mi instinto me llevó a considerar de primeras el intervalo [5,6] de números reales, muy bien, pero a la hora de considerar los 10 minutos en este intervalo la chispa habitual interviene y me dice: cuidado! un 10 en ese intervalo no coincide con lo que son 10 minutos de una hora. Consideré 1/6 y solucioné el problema, pero ya había perdido el control. Mi compañero, que es mucho más práctico, consideró directamente el intervalo de los 60 minutos y llegó a la misma solución, como es de prever, sin el problema de la proporción.

¿Cual es la diferencia entonces?

Pues simplemente la coletilla: "minutos".

Empecé a cuestionar su método más práctico: -no estás considerando todos los puntos de forma realista, solo los que coinciden con los minutos, números enteros y a eso no le puedes calcular un área.

Y lo que decía yo es cierto ¿Por qué? La respuesta la da mi entrada anterior: la continuidad de los números reales.

Mi intervalo [5,6] consideraba todos los números reales entre 5 y 6 (ambos incluidos), luego todos los pares representan TODOS y cada uno de los puntos del cuadrado, puntos perfectamente alineados uno al lado del otro de forma que consiguen "densidad"; y eso señores, es "medible" desde un punto de vista matemático, y en lo que a este caso particular se refiere, podemos calcular su área. Si en lugar de una dimensión quisiéramos medir una tendríamos los puntos alineados perfectamente de forma CONTINUA y a eso le podríamos calcular la longitud.

En el caso del intervalo de los 60 minutos todos los pares están dados de la forma: (1,1), (1,5), (40,45), (8,55) ... y así hasta completar todos. Incluso podemos saber cuantos son todos ellos, exactamente 3600 puntos, todos distribuidos de forma homogénea en el cuadrado, pero cada uno de ellos separado del otro por un espacio vacío, sin puntos considerados. El intervalo [5,6] en cambio contiene infinitos puntos, ¿pero qué infinito? pues alef1, el mismo cardinal representado por el total de números reales, sin embargo estamos considerando solo un trozo pequeño de ese total, marea un poco pero es totalmente cierto. El total de puntos en el cuadrado no deja espacios vacíos entre ninguno de ellos, si le lanzamos un dardo infinitamente pequeño siempre acertaremos a un punto (curiosamente la probabilidad de darle a uno en particular es 0, pero de eso hablaré otro dia).

Para arreglar el pseudo-cuadrado (que más bien es como una rejilla) de mi compañero se nos puede ocurrir precisar más: y si consideramos segundos. Muy bien, más puntos. ¿Cuántos? Exactamente 12960000 puntos. Son muchos puntos, pero a eso aún no se le puede calcular un área, sigue habiendo espacio vacío entre ellos. Bueno pues tomamos nanosegundos. Ahora son muchísimos puntos más, y no me pienso dar la molestia de calcularlos y llenar esto de números, pero esa cantidad, a pesar de ser muy grande, es FINITA. Y aquí está el meollo del asunto, por mucho que precisemos en las medidas, y consideremos fracciones cada vez más precisas, siempre tendremos una cantidad de puntos contable, y siempre habrá espacios vacíos.

Nuestra forma de medir está basada en fracciones, números racionales. Cogemos la unidad de lo que sea (por ej. el metro) y lo dividimos en 10 cachitos, y tenemos más precisión, y lo podemos volver a dividir y dividir, que es precisamente el proceso de construcción de los números racionales, y acercarnos a la realidad más y más y más, pero SIEMPRE condicionados por lo finito. 

Pero, ¿qué pasa si hacemos lo mismo infinitas veces? 

Pues que tampoco alcanzamos la continuidad! Misteriosamente siguen quedando espacios vacíos. La diferencia que separa ese nivel de precisión entre nuestra "medida" (aunque llegáramos hasta el infinito) y la medida en el sentido matemático es la misma que separa alef0 de alef1, que es mucha. Lo curioso es que los matemáticos no consideran los espacios discontinuos "medibles". La teoría de por qué es bastante abstrusa pero entran en juego conceptos como los de que un punto solitario no tiene dimensión. Un grupo de puntos tampoco consigue dimensión dejando espacios vacíos entre ellos, pero si se arrejuntan infinitos puntos lo suficiente para reventar esos espacios vacíos, el grupo de puntos se transforma en un intervalo, y conseguimos la continuidad.

En un intervalo continuo (lo mismo si consideramos toda la recta) se pierden conceptos como el de "siguiente". Si consideramos los números enteros todo el mundo afirmaría que el siguiente del 1 es el 2, y aciertan, porque eso es posible en los enteros, pero en los números racionales eso ya no es cierto; sin embargo tenemos formas de alinear todos los racionales (Cantor dio una) y "ordenarlos" de forma que podamos decidir quien es el siguiente a un número. Puedo decir, y quedarme tan pancho, que el siguiente del 2/7 es el 1/8, pero no me alargaré con esa explicación.

En los números reales el concepto de "siguiente" simplemente ya no existe. No existe el siguiente del uno, porque simplemente no existe manera de decidir cual es, como en los casos anteriores. Esto provoca cosas extrañas, como que 0.9999...=1, osea que 0.9 periódico se corresponde con el 1. De hecho cualquier número entero tiene un gemelo malvado periódico, vamos que puede ser representado por su análogo decimal periódico de la izquierda, no obstante esto no es posible por la derecha, curiosamente.

La pregunta que yo me hago ahora es donde queda entonces la realidad. ¿Es continua la realidad? Desde luego desde el punto de vista matemático debería serlo para que podamos "medirla", o digamos, asignar valores a magnitudes (altura, peso, masa, fuerza...). Veo una extraña paradoja en esto porque en el momento en el que los físicos introducen las magnitudes el concepto de continuidad se rompe. Cuando a un número, sea el que sea, le ponemos al lado "minutos", o "gramos", se muda de conjunto y pasa de los reales a los racionales, donde los conjuntos dejan de ser medibles. ¿¿Cómo se interpreta decir pi centimetros?? Puede que la realidad sea continua y el problema sea nuestra comprensión de esta. Sin embargo el sueño físico parece ser que todo sea cuantificable, donde sea que estén los cuantos han de estar ahí. Pero si están realmente ¿quiere decir esto que la realidad es discontinua? Podríamos pensar que si, saltando de cuanto en cuanto sobre el espacio entre ellos, o podemos pensar que dado un cuanto no se puede determinar los que hay a su alrededor como pasa con los números reales. Incluso podríamos dar un salto de complejidad e incluir los números imaginarios a la realidad (cosa que no es tan descabellada como suena) y mandar a paseo nuestra visión de las cosas.

Sea como sea el problema de cálculo de probabilidades daba la misma solución sin importar como se planteara, y por aquí pueden ir las respuestas a tanta pregunta, porque todo parece indicar que a pesar de los galimatías lógicos que a veces provoca esta carrera, algo hacemos bien para conseguir acertar con las precisiones, y esto debería ser lo más importante.

Como punto final dejo lo que fue el gran legado de Cantor sobre el tema del infinito; algún día me atreveré a hablar sobre ello.
Todas las cantidades (1,4,89...) representan el cardinal de algún conjunto que tiene ese número de elementos. Los números transfinitos de Cantor (alef0, alef1,...) representan los cardinales de los conjuntos infinitos. Antes de morir dejó la siguiente pregunta: ¿Existe algún conjunto cuyo cardinal se encuentre exactamente entre alef0 y alef 1? Una cuestión que sigue provocando migrañas a los matemáticos hoy en día, y sin duda seguirá.

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Bienvenidos al Hotel Infinito

En estas dos últimas semanas me he topado de forma continua y repetitiva, y a través de distintos medios he de decir, con la historia (paradoja más bien) del Hotel Infinito de Hilbert; como si el destino me susurrara al oído lo que tenía que hacer, sólo que en lugar de construir campos de baseball yo escribo en mi blog. Es probable que muchos de mis lectores ya conozcan esta paradoja, pero si que me gustaría indagar un poco en lo que representa realmente, ya que aunque para muchos esta historia represente un absurdo, para los matemáticos no es más que una realidad con la que nos toca jugar a diario. No son pocos los que me han puesto caras extrañas cuando me han escuchado decir que existen infinitos distintos, unos más grandes que otros, y que el infinito con el que estamos más familiarizados intuitivamente es el más pequeño de todos. No culpo a nadie, ya que cualquier matemático se ha quedado igual de ojiplático cuando se ha topado con el asunto en si, el mismo George Cantor, que desarrolló esta cadena de descubrimientos acabó sus días en un manicomio; espero que esto no desanime. Reconozco que la historia es digna del Barón de Munchausen, pero no le quita sentido; vamos con ella:

"En algún punto del Universo existe un hotel que se hace llamar Hotel Infinito. Tiene la peculiaridad de disponer de infinitas habitaciones, así que sus dueños no dudan en afirmar que sin excepción alguna siempre habrá una habitación libre para cualquier huésped que desee alojarse aquí; lo unico que piden a cada uno es que si el hotel lo necesita han de estar dispuestos a cambiar de habitación.
Y así llega el día en el que su popularidad se ve puesta a prueba y el hotel ha de colgar el cartel de "COMPLETO", las infinitas habitaciones están ocupadas. No obstante aparece un huésped intentando hacer valer su famoso eslogan.


- No se preocupe usted caballero, en seguida consigo que una habitación quede libre.

 Entonces el dueño anuncia a todos los huéspedes que deben abandonar sus habitaciones, y mudarse a la habitación contigua, osea un numero por encima de la suya. De este modo el huésped de la 1 se mueve a la 2, el de la 8 a la 9, y el de la 45678 a la 45679.

- Listo señor, la habitación numero 1 ha quedado libre para usted.

El ingenio de los dueños parece funcionar. El truco les vuelve a funcionar cuando aparecen 5 nuevos clientes, haciendo que cada huésped se mude 5 habitaciones hacia la derecha, despejando así las 5 primeras y alojando ahí a los nuevos.
Sin embargo un día aparece un autobús cargado con infinitos turistas. El guía se acerca al mostrador y:

- Señor necesito habitación para todos y cada uno de los infinitos clientes que me acompañan, al parecer es el único hotel donde puedo alojarlos, pero veo que están ustedes completos.

- No hay ningún problema, en el Hotel Infinito siempre hay espacio para infinitos nuevos clientes.

El dueño toma el megáfono y solicita a todos los huéspedes que cambien su habitación por la que resulte de multiplicar por dos el número de habitación actual. Así lo hacen y todos y cada uno comienzan a mudarse y a ocupar todas las habitaciones pares, el 1 a la 2, el 5 a la 10, el 45 a la 90...

- Listo señor, dispone usted de las infinitas habitaciones impares que han quedado libres, que tengan una buena estancia"


¿¿Como??

Pues aunque lo parezca aquí no pasa fantástico, salvo por el detalle insignificante de las infinitas personas en el autobús, o el hotel con infinitas habitaciones; y es que cuando hablamos del infinito pasan cosas que ponen a prueba nuestra intuición. Cómo puede vaciarse una habitación si estaban las infinitas ocupadas, y evidentemente sin que nadie se quede sin habitación. Es el equivalente a pensar que sumarle uno a infinito nos da infinito. Pues así es y es lo que pasa. Todos y cada uno de los huéspedes dejan una habitación libre y todos y cada uno tienen una nueva que ocupar a su derecha. En el momento en el que imaginamos un número, por grande que éste sea, lo dotamos automáticamente de un anterior y un posterior, y como es evidente también del numero resultante de sumarle 5, o lo que nos apetezca sumarle; y no importa si nos imaginamos un gúgol , el infinito nos sigue quedando muy lejos. Esto parece querer decir que el infinito en su tamaño permanece invariante por mucho que le sumemos, incluso por mucho que le restemos! ¿Qué pasa si le sumamos infinito? Esto parece más peliagudo, y es lo que sucede cuando aparece el autobús. La primera estrategia deja de funcionar porque aunque consigas meter a los 5 primeros, o los 1000 primeros, siempre te quedarán infinitos por alojar. ¿Cómo liberas infinitas habitaciones? O más rigurosamente, ¿contiene el infinito subconjuntos infinitos? Aquí es donde la intuición nos la juega. La relación de contenido entre conjunto siempre parece hacernos pensar que lo que está contenido dentro de otra cosa tiene que ser de menor tamaño, la matrioska que vive dentro de la otra siempre es más pequeña. Esto no sucede con los subconjuntos infinitos. El conjunto de los números pares parece representar, la mitad del total de los números, y más o menos lo es, la otra mitad queda representada por los impares, ambos subconjuntos infinitos de los números naturales; sin embargo como todos sabemos los números pares son infinitos, igual que los impares, o igual que los naturales, y desde el punto de vista del cardinal (número de elementos) los tres conjuntos tienen exactamente el mismo tamaño. De hecho, cualquiero conjunto infinito que se nos ocurra (múltiplos de 3, de 8, de un gúgol...) tiene exactamente el mismo tamaño que el total de los números. Desde un punto de vista matemático, son isomorfos, por lo que se comportan igual, lo que "casi" viene a decir que salvo el nombre que le des a cada elemento para qué lo uses, ambos conjuntos son básicamente el mismo; paradójicamente esto parece decir que el total es igual a cada una de sus partes, en este caso, lo dejo en el aire.

Los matemáticos comparamos los tamaños de los conjuntos diciendo que si somos capaces de unir uno por uno cada elemento de un conjunto con los de el otro, entonces los conjuntos tienen el mismo tamaño, por muy infinitos que sean. Evidentemente no se hace a mano, pero se demuestra que es posible, y a veces no es fácil. Hasta ahora parece que me contradigo porque afirmo que los infinitos que viven dentro del infinito de toda la vida son igual de infinitos, dónde están entonces los infinitos menores, o los mayores. Pues menores no hay, este infinito es el de menor tamaño que podemos imaginar, cualquier intento de infinito menor se puede alinear uno por uno con cada número natural. Por ejemplo a cada número par le podemos asociar un número del total simplemente pensando en que todos los número pares proceden de multiplicar por dos algún número natural, y lo asociamos con este, uno a uno. Así sucederá con cualquiera que intentemos imaginarnos. ¿Cómo nos imaginamos entonces infinitos mayores?
Nos planteamos si los números naturales están contenidos en otro conjunto más grande, otra matrioska que tenga un tamaño mayor. La respuesta es conocida. Cogemos todos estos números, plantamos el cero a la izquierda del uno, y después todos los números negativos. Tenemos los números enteros y a los números naturales metidos aquí dentro, dando la impresión de que representan a la mitad (o casi) de todos estos números. Pues va a ser que no. El tamaño de los números enteros es igual que el de los naturales, y la demostración pasa por la asociación de la que hablábamos antes, pero en esta demostración no me voy a detener esta vez. Salvo por el hecho de que hemos roto el límite finito que representaba el uno esto tampoco parece demasiado impresionante. Para obtener el siguiente conjunto "mayor" que contiene a los enteros lo que hacemos es cogerlos todos y dividirlos a todos entre si, apareciendo las muy queridas fracciones que tantos dolores causan en la infancia. Aparecen entonces muchisimos números más, los números racionales. La recta de los números enteros empieza a llenarse casi completamente, entre el 1 y el dos aparecen de golpe todos los números que representan cantidades intermedias, tantas como nos podamos imaginar y más. Solamente entre el 1 y el dos aparecen infinitos números más, y da la impresión de que no hemos dejado espacio en la recta para más conjuntos. Curiosamente sólo entre el 1 y el dos (y en todos los intervalos) hay infinitos números; siempre podemos dividir el intervalo por la mitad, y cada mitad por la mitad, y cada cuarto por la mitad, y cada octavo por la mitad, y así ad infinitum. Todo intervalo, o intervalito, por pequeño que sea, contiene infinitos números, tantos incluso como el total. La pregunta ahora es si ya hemos conseguido superar el tamaño de los números naturales.  Pues no. Esto es más difícil de imaginar todavía, lo reconozco; estamos diciendo que el infinito de todos  los números naturales cabe dentro del intervalo [1,2] y aún así afirmamos que tienen el mismo tamaño.
Estas cosas solamente suceden cuando tratamos con el infinito, más específicamente "alef 0", nombre que otorgó Cantor al número transfinito que representa el tamaño de todos estos conjuntos. Al conjunto de los números racionales nos queda aun añadirle los números irracionales, un dolor de cabeza para cualquiera. Resulta que  este conjunto da la sensación de que llena del todo la recta, que allá donde apuntes entre dos números enteros habrá un número racional; la idea de que puedas dividir y dividir hasta el infinito hace que no importa el intervalo que elijas, por pequeño que sea, siempre hay números en medio, siempre puedes dividir y dividir. Sin embargo la intuición falla, como de costumbre. Si tomamos un bisturí y colgáramos la recta de los racionales como si fuera un cable, al pasar el bisturí no tocaríamos un racional, tocaríamos un irracional; de hecho la probabilidad de tocar un racional es casi cero. La diferencia entre los irracionales (pi, phi, e...) es tan gran grande que la unión de estos dos conjuntos alcanza el tamaño de infinito que supera por fin al de los naturales: los números REALES. En los números reales encontramos por fin la definición de la continuidad esperada, podemos dibujar su recta con un lápiz sin levantarlo, ya que no tiene ningún hueco; dibujar los racionales con una recta haría que sonara como una carraca. Esto hace que los físicos vean en los números reales una buena representación de la realidad, se puede medir, aporta área y volumen a los objetos que se forman con ellos, abarca más de lo que podemos imaginar, pero representa todo lo que necesitamos para entender el universo, o casi todo.

El por qué este infinito es mayor que el otro requiere una demostración realmente rigurosa. Lo que si es cierto es que la asociación entre número y número que antes se podía hacer ya no se puede conseguir de ninguna forma. Cantor otorgó al cardinal de este conjunto el siguiente número transfinito: "alef 1", y su valor corresponde exactamente a 2 elevado a la potencia de "alef 0", entender por qué esto es así supuso uno de mis momentos eureka más emocionantes.

Existen números transfinitos más grandes, pero es algo que de momento supera mis conocimientos, entrar en la mente de Cantor es un riesgo que habrá que correr algún día.

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El alma

Resulta sorprendente, en una sociedad cada día más secular, cómo la mayoría de la gente no ha perdido su fe en la existencia del alma. Sobre este tema siempre recuerdo uno de los vídeos de Rob Bryanton donde nos hablaba de una encuesta realizada por él mismo donde preguntaba a la gente si los animales tienen alma o no, dejando una tercera opción para la no existencia de la misma. Para su sorpresa y la mía una gran mayoría de la gente otorgaba alma a los animales. Un poco escéptico realice la misma encuesta entre mis conocidos obtenido resultados muy similares, mi sorpresa fue incluso mayor ya que la mayor parte de mis conocidos declaran ser ateos o agnósticos. La pregunta es evidente, ¿qué es lo que provoca que los razonamientos (o la falta de ellos) que impiden a mucha gente ser escépticos a la fe religiosa no les impide abandonar la creencia en el alma? Tiendo a pensar que la tradición nos obliga a ello. Desde luego cuando desde que tienes consciencia recibes estas ideas en un entorno que la alimenta y las protege resulta realmente difícil deshacerse de ellas, incluso es posible que mucha gente ni se plantee la posibilidad de abandonar este tipo de fe. Lo que si es cierto es que recibimos motivos a diario (se acepten o no) de por qué abandonar la religión, pero dejar de lado este tipo de espiritualidad no suele ser dañino para nadie (o por lo menos no demasiado) y la experiencia me dicta que hay gente a la que le trae cierto alivio, o bienestar.
Lo que quiero plantear aquí son los argumentos que llevan a pensar en la existencia de un alma (o un "algo") y si son sostenibles empleando un poco de lógica deductiva. Los he resumido en dos, la inmortalidad y la identidad personal. Sobra decir que si algún lector tiene argumentos que no pasan por aquí el debate estará siempre abierto.

Antes de entrar en argumentos siempre se plantea el mayor problema de todos, el más importante de todos, y posiblemente el más pasado por alto, la definición. Hasta hoy no existe ninguna definición "oficial" ni ningún acuerdo lo suficientemente importante como para pasar los argumentos por la maquinaria científica o filosófica y llegar a refutar o confirmar el alma. Desde luego pienso que la confirmación o refutación de algo así beneficiaría poco a sus defensores. Muchos han llegado a decirme que no conciben la vida sin "algo" más, que no podemos ser solamente de carne y hueso, que algo ha de haber tras la muerte. Conceptos como el amor, la pureza o la conciencia han llegado a sujetarse del alma con tal firmeza que muchas personas pondrían en duda tales conceptos sin tenerlos apoyados en cierto grado de espiritualidad. Personalmente pienso que una confirmación de la existencia del alma sería un asunto incluso más problemático que la simple refutación, ya que echaría por tierra las múltiples definiciones personales y colocaría a todos en un paradigma común con el que creo que no creo que la mayoría se sientan cómodos.

Creo firmemente que la clave de la persistencia de la fe en el alma es la ambigüedad de su definición. Podemos argüir en favor de cada fe religiosa, a favor o en contra, pero nadie (o casi nadie) ve algo negativo en el alma, lo asimilamos como algo cuya no existencia no causaría perjuicio, y incomprendida hipotética existencia continuaría sirviendo de inspiración para todo tipo de espiritualidades. Todas aquellas personas que se consideran a si mismas espirituales se ven inspiradas por su definición del alma; unos ven energía otros una identidad que viene y se va de diferentes contenedores y que tiene un ciclo vital eterno; otros añaden a esto una recompensa final que promete descanso, felicidad y sabiduría, claro está pagando el precio estipulado por la secta de turno.
En cualquier caso esta libertad para jugar con la definición nos deja la libertad de unirnos a los múltiples tipos de espiritualidad existentes, o de crear nuestra propia teoría, en cualquier caso es un problema menos al que dedicar nuestras vidas. Plantearnos la veracidad de cualquier teoría no parece oportuno, incluso para muchos, decepcionante.

Creo que muchos de los argumentos principales sobre la existencia del alma pasa por la propia identidad, el Yo, es el preguntarse quién soy, donde reside mi consciencia, que pasará con mi definición propia cuando mi cuerpo no se capaz de seguir vivo. Es un argumento fuerte en apariencia, ya que todos nos consideramos entes únicos. Tenemos una idea de nosotros mismos que no somos capaces de colocar en ningún órgano del cuerpo, no dejamos de ser nosotros si nos cortamos un dedo, o si nos cortamos el brazo o las piernas, incluso si perdemos órganos vitales como los pulmones o el corazón la ciencia moderna es capaz de mantener nuestro contenedor a salvo. Esta acotación puede ser la crea el dilema, ¿dónde estoy? ¿que órgano de mi cuerpo es el real contenedor del alma? Descartes lo tenía claro, el cerebro, contenedor de nuestra memoria y destino de "todos" nuestros impulsos nerviosos. Parece que tiene sentido pensar que el alma resida donde residen nuestros pensamientos, donde colocamos nuestra consciencia e, inevitablemente nuestra voluntad. Sin embargo tenemos hoy en día un amplio conocimiento de nuestro cerebro y nuestro sistema nervioso en general. Conocemos que reacciones químicas generan las emociones que sentimos, y qué partes específicas del cerebro se activan con ellas. Podemos incluso prescindir de partes del cerebro y continuar vivos, podemos perder funciones corporales si, pero por qué iba a afectar eso al alma. Cláramente existe un límite donde si deterioramos más el cerebro perderíamos la vida, pero esto a mi ya me hace pensar que no encontraríamos ningún alma aquí dentro por mucho que diseccionemos. Realmente a mi no resulta tan difícil descartar al cuerpo como contenedor, o por lo menos pensar que el alma guarda relación con un grupo de células de mi cuerpo. Las células de las que estábamos formados cuando el alma tomó posesión de nuestro cuerpo (en el momento que sea) no son las mismas de las que está formado ahora, ni siquiera las mismas moléculas o átomos; resulta difícil pensar que pueda haber algo ligado a ellas, y más aun pensar en un seguimiento de cada uno de los átomos, desde que se formaban en quién sabe cual estrella hasta una minúscula probabilidad de que se juntaran todos en nuestro cuerpo durante una pequeña fracción de tiempo.  Pensando así al menos podemos estar tranquilos de que ninguna Moira traviesa nos jugará una mala pasada.

Si no podemos ligar el alma al cuerpo físico tendemos a pensar en algo un poco más abstracto, como nuestra consciencia, o simplemente a hacer una asociación con algún ente externo con la propiedad de la inmortalidad, con nuestro cuerpo como su avatar. Me gusta comparar esto con los personajes de los juegos de ordenador online. En un mundo virtual hecho de información encontramos dos tipos de seres: seres inteligentes (tanto como se pueda) que interactúan y, a su manera, viven y mueren; y otros seres exactamente iguales a éstos con la diferencia de que están controlados por un ser humano. Podemos decir en seguida cuál de estos seres tendría alma y cual no. El símil me parece adecuado para entender el concepto, y podemos abstraerlo fácilmente a nuestra definición del alma diciendo que algo así tiene que pasarnos a nosotros. La pregunta que yo me hago es por qué podríamos afirmar que los seres no dirigidos por humanos no tendrían alma, ¿es debido a que la inteligencia que los controla es menor a la nuestra? La inteligencia artificial es un campo en constante crecimiento. ¿Podríamos llegar a considerar que tuviera alma algún día? En nuestro caso podríamos preguntarnos cuál es el límite de complejidad de un ser vivo para llegar a tener alma. Biológicamente hablando los chimpancés y los gorilas no están demasiado lejos de nosotros. Y si aceptamos que los animales tienen alma, ¿existe algún límite? ¿Tienen alma las ratas? ¿Las moscas? ¿Los ácaros? ¿Las bacterias? ¿Cualquier otro organismo unicelular? En caso de no aceptar el alma de los animales cabría preguntarse entonces qué es lo que nos hace tan especiales; dejando de lado asuntos religiosos, la fracción de tiempo en la que llevamos aquí es extremadamente minúscula en comparación con la edad de la vida, la Tierra, o del Universo, ciertamente cuesta tomar arbitrariamente la decisión de considerarnos tan importantes, o relevantes.

El argumento de la identidad enlazado directamente con el de la inmortalidad ya provoca una paradoja inconmensurable, y hace cuestionar el sentido de la existencia del alma por sobre el sentido de la vida. No hace demasiados años la población mundial no alcanzaba los mil millones de personas, y ahora hemos superado los 7000 millones, si a la identidad de cada ser humano le corresponde un alma inmortal  esto quiere decir que 6000 millones de almas nuevas han encontrado contenedor; para dramatizarlo más, podemos pensar que antes de haber seres humanos todas esas almas no tenían donde habitar, y si son inmortales habría que suponer que han vagado durante más tiempo del que podemos imaginar, y peor aun, seguirán haciendolo cuando no estemos, ya que si atendemos al potencial de crecimiento de la humanidad, muy probablemente la mayoría de ellas no habitarán un cuerpo y nunca cumplirán con los designios de ninguna fe. Para no caer en tal melodrama habría que imaginar que las almas tuvieran la posibilidad de nacer y adaptar su población a la humana (la de carne).  Creo que todos estaremos de acuerdo en que embarcarse en semejante especulación sería como intentar construir castillos de arena en el agua.

Para muchas personas el argumento de la inmortalidad sirve de alivio para superar el miedo a la muerte, o digamos, a la "no existencia". Siempre parece no importar el hecho de que uno de los elementos más importantes de nuestra identidad se queda en tierra, la memoria. Se puede responder que el alma podría albergar una memoria; habría que justificar entonces el hecho de que no tengamos acceso a ella desde nuestro contenedor terrenal, y a partir de aquí cualquier argumento se vuelve arbitrario e injustificable.
¿Significa esto que podemos afirmar que nuestra identidad muere con nosotros?
No se puede afirmar nada sin la definición de identidad. Se que puedo parecer pesado con las definiciones, pero es la única forma de sacar conclusiones concretas. A modo personal definiría el Yo como el conjunto formado entre la consciencia y la memoria, y me atrevo a decir que no existe Yo si falta alguna de ellas, la consciencia sin memoria sería instantánea e inviable, la memoria sin consciencia nos haría meros programas informáticos. Desde este punto de vista el alma no tendría más remedio que ser "mortal" y, yendo más lejos, creable a partir de la complejidad (como la inteligencia artificial).  No deshecho la idea de que algún día los avances tecnológicos permitan trasladar estos dos elementos a otro soporte donde pueda continuar subsistiendo. No pretendo convencer a mis lectores de mis teorías, pero bajo este punto de vista quiero aclarar que esta definición de la identidad o "alma" puede convivir con la idea de la inmortalidad, siempre y cuando sea posible un nuevo contenedor.
La inmortalidad en el fondo me parece el motivo principal por el que la gente se aferra al concepto del alma, y sin ninguna duda viene provocado por el miedo a morir. Soy de la idea de que no tenemos cultura de muerte; a la mayoría de la gente le aterra desaparecer, y eso que somos de las especies animales más longevas. Hemos racionalizado de alguna forma un instinto natural como el de preservar la vida y lo hemos arreglado de alguna forma para que sea método de control. Las principales religiones juegan con el miedo a la muerte y prometen castigos (o la denegación de recompensas) si no se siguen los dogmas, otros tipos de espiritualidades dan alivio diciendo que esta vida forma parte de algo más grande y que vivimos una etapa. Cualquier caso requiere de un alma inmortal. A mi me parece curioso de todas formas que hayamos manipulado el instinto, ya que lo hemos transformado en miedo a la muerte personal, por encima de la perpetuación de la especie. Siempre intento imaginar una hipotética sociedad donde el miedo a la muerte no exista, o haya dejado de existir. Me pregunto si tendrían necesidad alguna de creer en un alma inmortal.
Aparcando el miedo a la muerte, podemos encontrar la idea de trascender o de buscar sentido a la vida. Muchos dirán que sin alma nuestra vida pasa sin pena ni gloria, que no tiene gracia, que no significa nada, que donde van todos mis recuerdos y las emociones sentidas. Personalmente no me deprimen estas cosas. Creo que quienes han asimilado como yo la racionalidad de la vida, del universo, o aquellos que han sido capaces de valorar lo suficiente lo vivido, lo descubierto o lo sentido, no sienten la ambición de perpetuarlo. Todo lo que sucede sucede puntualmente, es especial puntualmente y único, se guarde en la memoria del alma o no. La sensación de que tenemos esta vida y esta oportunidad para aprovechar todo lo que podamos me motiva en lugar de deprimirme, me preocupa más el aprendizaje, me produce más curiosidad, y me hace que me interese más por cómo dejaré las cosas cuando no esté.

A pesar de lo que piense cada uno con respecto a este tema, estén o no de acuerdo conmigo, creo que la mejor postura siempre será el agnosticismo, sin embargo las motivaciones que pueda encontrar cada persona creyendo en el alma de forma persona me parecen correctas si son positivas, y desde luego si no son impuestas ni hacen daño a nadie.

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Microsistemas, el Individuo contra el Todo

Han pasado varios meses desde mi última entrada en el blog, y es que aparte de los motivos académicos he preferido guardar otros temas por las ganas que tenía de enlazar éste con mi entrada anterior sobre los sistemas lógicos y el teorema de Gödel. He de aclarar primero que el término microsistema es de invención propia, por lo menos referida a lo que me interesa, a pesar de que la palabra tiene significado propio en otros ámbitos; la empleo únicamente porque me parece cómoda para reflejar el concepto que quiero presentar aquí.

El dibujo que me sirve de portada refleja perfectamente lo que yo entiendo por un microsistema. supongo que la mayoría de los lectores conocen el dibujo, y se habrán dado cuenta de que está incompleto. Una mano dibujada está dibujando a su vez, no vemos que la dibuja a ella ni vemos que está dibujando. Visto así el dibujo no tiene tanta gracia, pero tiene sentido, no es incoherente; no nos interesa plantearnos de donde viene la mano ni lo que hace, no nos hace falta justificarlo puesto que el resto del dibujo (de existir) es ajeno a nosotros. Si no conociéramos el resto del dibujo, o si pensáramos que este fragmento es Todo el dibujo cada uno de nosotros se daría la libertad de especular sobre el origen de la mano, y no tendría importancia, es la licencia que nos otorga la ignorancia; sin duda algunos formularían teorías basadas en la lógica del dibujo, otros podrían conformarse atribuyendo el misterio a alguna divinidad. En cualquier caso ninguna especulación nos haría plantearnos una posible incoherencia, puesto que lo que vemos es coherente.
Cuando somos conscientes del dibujo entero nos damos cuenta de aquello que considerábamos coherente en realidad no lo era, la mano dibuja otra mano que a su vez dibuja la anterior. ¿Estábamos equivocados? Probablemente no, está en nuestra naturaleza aceptar la realidad que se nos presenta, y basar nuestro conocimiento en la experiencia que ésta nos ofrece.

En la entrada anterior me introduje en los sistemas axiomáticos o los sistemas lógicos en relación con la realidad, y digo "la realidad" separando el concepto de la realidad individual, marcando así la gran diferencia que existe entre el Todo y el individuo. Al Todo le atribuimos leyes lógicas, sabiendo que están justificadas por otras leyes, a su vez justificadas por otras leyes. Podemos cuestionarnos si esta regresión de justificaciones acaba en algún sitio, como plantea el Trilema de Munchausen, sin embargo para lo que aquí me interesa cualquiera de las tres soluciones nos vale, ya que son irrelevantes; el Todo sobre el que apliquemos estos conceptos siempre será lo suficientemente amplio para que podamos hacer referencia a microsistemas dentro un sistema que lo abarca todo. Evidentemente alguien puede decir este Todo pertenece también a un Todo más amplio, por lo tanto también sería un microsistema; naturalmente ésto sería correcto, pero nos marearíamos bastante si lo que queremos analizar es un caso puntual.
Podemos entonces imaginar un microsistema con un subconjunto de un sistema lógico, osea que es a su vez un sistema lógico, pero más pequeño. Si nuestro Todo fueran los 10 mandamientos de Moises, un microsistema sería el que contiene solamente las dos primeras leyes, o las cuatro últimas, o la tres y la siete, podríamos arriesgarnos a meditar si el que contiene las 10 leyes sería a su vez un microsistema, pero entraríamos en la discusión de si el Todo es parte del Todo y no creo que sea importante ahora.

Muchos de los dibujos de Escher me ayudan a ejemplificar este concepto, pero ninguno mejor creo yo que el de las escaleras locas. Multitud de microsistemas bien encajados entre si pero representando una realidad incoherente. Al igual que en el ejemplo de la mano, si solamente ponemos nuestra atención en uno de ellos encontramos la coherencia y el sentido que queremos. El dibujo muestra además a gente a la que no parece afectarle la incoherencia del Todo, incluso no parecen afectarles los fenómenos extraños que produce el cambiar de microsistema. Escher fue un maestro encajando cada uno para que los bordes de cada uno solape a la perfección con su microsistema vecino, como se ve perfectamente en la Escalera de Penrose, la ilusión funciona para lo que él nos quiere mostrar, pero sin la ilusión el concepto pierde la coherencia.

¿Cuál es nuestro caso? ¿Están nuestros microsistemas bien encajados? ¿Es nuestro Todo coherente?
En mi opinión somos mejores que Escher encajando microsistemas, lo hacemos a diario. Son habituales frases del tipo: "esto es un negocio", "solo quiero lo mejor para mi hijo (familia, país...)", "en la vida hay que ser un poco hijoputa", "haremos lo que sea necesario por la economía del país", "en este momento me merezco pensar solo en mi", y un largo etcétera; todo ello atribuido a una facilidad innata que tenemos para dejar de ver el Todo (sea cual sea) y buscar la coherencia de un microsistema. Hacemos ambiguo nuestro código moral o incluso nuestro sentido común buscando un microsistema donde lo que nos interesa puntualmente sea coherente, y solemos invitar a los que nos escuchan a participar en él, ya que donde hay coherencia no hay discusión ya que lo externo no necesita justificación. Esta capacidad de reducción (o incapacidad de ver el Todo) hace que muchas cosas dejen de tener sentido, y que una vez encajados todos los microsistemas entre si el Todo se vuelva incoherente.
Un ejemplo excelente sería pensar en una langosta (el insecto). ¿Tiene una langosta derecho a alimentarse? Evidentemente, y además es bueno, positivo, es un derecho de nacimiento, debemos enseñar a la langosta a alimentarse. ¿Tiene la langosta derecho a la vida? Evidentemente, todo animal tiene derecho a no morir, casi un deber, es bueno, es positivo, le enseñamos a la langosta que no debe morir y le enseñamos a sobrevivir. Todo esto es coherente, nadie lo discutiría. ¿Podemos aplicar esto a todas las langostas a la vez? Parece que no, y menos si a lo anterior añadimos el derecho a reproducirse. Lo bueno y lo positivo parece que ya no vale, ¿que ha cambiado? No solo lo podemos pensar en el perjuicio para el medio ambiente, si no que sabemos que sería nocivo para la propia especie ya que agotarían el alimento; bajo esas premisas el Todo se vuelve incoherente, sin embargo no vamos a retroceder a cuestionar las enseñanzas de mama langosta. Ellas tienen la suerte de que no se preocupan por esos dilemas morales, la naturaleza se regula sola, nosotros no tenemos esa suerte.

En nuestro caso vivimos situaciones como la de los padres que desean e incitan a sus hijos a ir a la universidad, cierran los ojos ante el hecho de que no hay universidades para todos; de forma intrínseca están deseando que los hijos de otros no vayan; nadie los cataloga de malas personas ya que en el microsistema de la familia esa actitud es noble y correcta. Lo gracioso de todo esto es que cuando nos pasamos al microsistema de una sociedad que sufre las incoherencias derivadas de sus propios microsistemas encajados adaptamos las leyes a un subTodo agregando elementos que antes nos permitíamos el lujo de ignorar. Somos capaces de quejarnos sobre nosotros mismos sin llegar a recibir ningún reproche en la completa seguridad de nuestros propios microsistemas donde solo importa lo "localmente" correcto.
La economía mundial ha sido el mejor ejemplo de la inconsistencia que hemos creado y cómo somos capaces de quejarnos de nuestros errores mientras los cometemos, a todos los niveles en los que se pueda aplicar esta reflexión. Hemos encajado nuestros microsistemas de forma tan eficiente que no somos conscientes de cuando pasamos de uno a otro, y somos capaces de tener una consciencia más amplia del Todo olvidándonos completamente de que somos parte de él.


No pretendo dar soluciones a los dilemas. Se me vienen a la cabeza muchísimos ejemplos de lo que intento decir, los vivo a diario en cualquier ámbito, a veces planteo los dilemas pero estos análisis nunca suelen arrojar respuestas concretas, pero creo que es positivo reflexionar sobre ello de vez en cuando. Es posible que sea la única forma que tenemos de dejar de enfrentar al individuo con el Todo. Puede que no seamos tan buenos encajando las partes como Escher. Cuánto más fácil sería ser una langosta.

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Sobre incompletitud, Gödel, y "El Show de Truman"

No deja de sorprenderme el mundo de la lógica, y sobre todo de la lógica moderna, a la que la mayoría no estamos acostumbrados realmente; y es que el nivel donde las matemáticas modernas la han llevado sobrepasa los límites de comprensión de la mayoría, que abandonan al menor síntoma de colapso mental. No es que yo pretenda ahora provocar un colapso a nadie, tampoco puedo presumir de ser un gran conocedor del campo (de momento), sin embargo he sentido mucha curiosidad en estos días por el odioso legado que nos dejó uno de los grandes matemáticos de la era moderna, Kurt Gödel, quizás ya conocido para muchos por el libro "Gödel Escher Bach" sobre el que espero hablar aquí algún día. Para no esfumar la pizca de curiosidad que puede haber despertado el título aviso que no pretendo escribir aquí ni una biografía suya ni un análisis complicado sobre su trabajo (ni podría), simplemente pretendo indagar un poco en su Teorema de Incompletitud y las curiosidades que me ha despertado, desde un punto de vista un poco más filosófico y relacionado de alguna extraña forma con la película "El Show de Truman" , confío en que el lector tenga paciencia para entender por qué.

La culpa de este nuevo bucle psicoanalítico de mi realidad la tiene una conferencia a la que asistí hace unos días. Nos hablaban un poco sobre varios matemáticos importantes que también han sido recordados por la locura o rarezas ligadas muchas veces a la genialidad. Naturalmente Gödel se llevó un capítulo importante, eso si, más que por sus rarezas, por el conflicto que supuso su teorema a las matemáticas de la época, y la relación que el conferenciante veía con el "mito de la caverna" de Platon, muy bien enlazado con el tema principal de la charla. Dicen que el descubrimiento del teorema supuso un golpe muy duro para Gödel, y que se volvió aún más introvertido, hasta el fin de sus días; eso si pienso que tampoco es tan exagerado como el caso de Cantor, cuyos estudios en profundidad sobre el infinito lo llevaron directamente al manicomio. El problema es que el Teorema de Incompletitud (dos en realidad) abrió huecos en unas matemáticas que hasta entonces se consideraban perfectas y elegantes, bajo el punto de vista de la época; y no es que Gödel refutara lo establecido, pero el matiz complicaba un poco las cosas.
No voy a entrar en los tecnicismos del teorema para no espantar al lector, pero intentaré resumir el teorema y sus implicaciones de forma cómoda para poder jugar un rato con las paradojas y desordenar un poco nuestra noción intuitiva de la realidad.

Toda matemática arranca desde un sistema axiomático perfectamente definido, con todos sus cabos bien atados para obtener los resultados esperados (y otros muchos no esperados) y tener la garantía absoluta de no encontrar paradojas o contradicciones. Cuando nuestro sistema axiomático garantiza que una afirmación y su negación no se pueden dar simultáneamente decimos que el sistema es consistente, y cuando nuestro sistema garantiza que todas las proposiciones se pueden demostrar o refutar decimos que nuestro sistema es completo. El señor Gödel afirma que no se pueden dar las dos condiciones a la vez, y demostrado lo dejó. No pienso entrar en la demostración, pero podemos jugar un poco con la lógica para entender estos conceptos. Observemos esta proposición y veamos si podemos determinar su veracidad o falsedad:

[La siguiente frase es falsa]------------->     <-------------[La frase anterior es verdadera]

Pueden ser verdaderas a la vez? o falsas? Puede ser verdadera o falsa alguna de las dos? Esta pequeña paradoja nos da una pista, si el sistema lógico es consistente y una proposición no puede ser falsa y verdadera a la vez entonces esta proposición es indecidible, es decir, no podemos demostrarla ni refutarla, no es una tautología ni un absurdo. Afirma Gödel que este problema lo encontraremos siempre en sistemas consistentes cada vez que se refiere a si mismo, esto viene a ser proposiciones o teoremas que hacen referencia a la estructura del sistema o dicho de una forma más cómoda, cada vez que el sistema intenta demostrarse a si mismo o su propia consistencia; esto se conoce como recursividad. Puede parecer extraño pero la recursividad es habitual y no tiene por qué dar problemas salvo por el matiz que incluye Gödel con su demostración.
El segundo teorema de Gödel a grandes rasgos es una consecuencia de la anterior. Decimos que si un sistema es completo, es decir, todas las proposiciones y teoremas son definibles en su caracter de verdaderas o falsas, demostrables o refutables, entonces el sistema es incapaz de demostrar su consistencia. A veces estas cosas en matemáticas hacen que te arranques el pelo, como no puedes demostrar la consistencia no puedes asumir el sistema como consistente, aunque lo sea. Es ciertamente intrigante. Como vemos los teoremas se complementan, si tienes una condición entonces la otra no se da, y viceversa.

Entendidos los conceptos (espero), podemos elevar la implicación. Si tenemos una gran teoría matemática ¿como demostramos que la teoría es correcta? Internamente funciona todo perfectamente, todos los cabos están bien atados y todo lo que vive ahí dentro es feliz y real, pero si la teoría se plantea su propia existencia entonces falla. Una sistema matemático no puede demostrarse a si mismo, por lo menos sin abrir huecos o paradojas. Si dejamos de pensar en números y nos ponemos a pensar en lógica avanzamos entonces hacia la filosofía y empiezan a surgir preguntas. ¿Quiere decir que la teoría es incorrecta? No. Lo que quiere decir es que no puedes saberlo. Gödel ha conseguido salir de la caverna de Platon y situarse los lindes del mundo lógico y tocar la burbuja donde vive toda la lógica, se dio cuenta de que no podemos salir de ahí y de que lo que hay dentro está menos ordenado de lo que se pensaba en la época. ¿Es imposible entonces demostrar la veracidad de un sistema lógico? No, pero hay que recurrir a otro sistema lógico, salir de la burbuja, entrar en otra y mirar el mundo desde fuera; naturalmente este nuevo sistema tendría el mismo que el otro. ¡Pero entonces demostramos algo usando otra lógica que tampoco podemos demostrar! Claro que si, solo habría que volver al sistema inicial y podríamos demostrar el segundo. A estas alturas empezamos a notar la aneurisma.

Soy consciente de que a mucha gente esto le provocará dolor de cabeza, pero para mi consigue arrancar el motor del razonamiento, y las derivaciones constantes en mi cabeza han terminado la necesidad de escribir sobre ello. Muchas veces nos hacemos preguntas que no tiene sentido hacerse. Una gran parte del mundo las soluciona las dudas con la religión, pero el resto del mundo indagamos e indagamos y acabamos siempre perdidos en una espiral que no lleva a ninguna parte. Toda nuestra existencia está dentro de un sistema lógico, y es un sistema que funciona (evidentemente estamos aqui) pero, ¿podemos preguntarnos cosas sobre el sistema? Podemos explicar nuestra propia existencia? Quizás la pregunta va demasiado lejos, hay cosas que no podemos demostrar que encuentran en niveles mucho más bajos. ¿Puedes demostrar que no estas soñando ahora mismo? No puedes, y sencillamente no puedes, porque tendrías que hacer alusiones a elementos que considerarías reales y realmente los desconoces, no conoces el sistema fuera de lo que tu realidad te ofrece, por lo tanto no puedes asumir una respuesta basada en como ha de ser el mundo fuera. Como dijo bien Bertrand Russel, ¿puedes probar que el Universo  no ha sido creado hace 5 minutos junto con la memoria y poniendo todas las cosas donde están? No puedes, volvemos a chocar con el borde de la burbuja. Nuestra vida podría ser una simulación informática muy compleja y si se diera el caso de que está perfectamente estructurada, o es consistente o es completa, pero en ningún caso las 2, por lo tanto no podemos saber nada sobre donde estamos realmente. Seguramente todos los lectores pensarán en Matrix sin embargo yo pienso en el Show de Truman, y aquí es donde termino de darle sentido al título de la entrada.

La vida de Truman es un espectáculo televisivo que ha retransmitido toda su vida desde su nacimiento, todas las personas que le rodean son actores y la región donde vive es un plató gigantesco. Para evitar que Truman intentara salir de ahí consiguieron crearle una fobia a viajar. Su mundo no es diferente al nuestro con la diferencia de que es ideal. Vive los entes exteriores quieren que viva sin quitarle libre albedrío pero consiguiendo crear situaciones manipuladas que acabarían llevando a Truman a un desenlace medianamente controlado. Nada puede hacerle dudar de su existencia excepto pequeños fallos en la estructura de su realidad que no entiende logicamente, y esta es la gracia de la película, y de la filosofía que se consigue extraer de ella. Truman llega a sentirse observado o perseguido, observa patrones repetitivos para los que no tiene explicación. Se hace preguntas no muy diferentes a las que nos hacemos nosotros, y es que ni él ni nosotros podemos llegar a saber si lo que creemos que hay fuera es lo que hay realmente. Todo lo que vive dentro de nuestra burbuja es nuestro universo infinito, un paisaje dibujado por nuestras expectativas propias, o quien sabe si manipuladas.La estructura del mundo de Truman es inestable, pero el nuestro no, sus preguntas tienen respuestas, las nuestras no, puesto que no podemos tocar el borde de nuestra realidad, y mucho menos plantearnos lo que puede haber fuera. El viaje de Truman a través del entendimiento es la trama de la película y la gracia, si ese contacto entre el exterior ni el interior no existiera la película no tendría sentido, veríamos una historia normal y un mundo exterior que podría ser cualquier cosa, que lo que haya fuera sean personas o pulpos gigantes no afectaría a la vida de Truman, tampoco la existencia de dioses.
¿Podría ser nuestra vida un espectáculo de televisión? Perfectamente, pero no puedes saberlo, ni afectará a tu vida que lo sea.Tampoco afectaría a tu vida la existencia o no existencia de pulpos o dioses. La estructura de nuestra realidad es consistente e incompleta, o completa e incosistente, pero está bien definida, por lo tanto no podemos tener contacto con el exterior; preocuparse entonces es tontería.
Si a alguien nuestra realidad infinita se le hace pequeña solo hay que echarle un vistazo al universo, conocer un poco la física cuántica, e interesarse un mínimo por la complejidad de la vida y la consciencia. Sea lo que sea lo que haya fuera, algo, o nada, la importancia que tiene es igual a 0.

Para concluir dejo el corto que me sirvió de inspiración. Unos estudiantes de cine en Alemania rodaron un fragmento de la vida de Gödel, de ya avanzada edad, en el que él mismo se pregunta si su realidad es un cortometraje, naturalmente no lo puede demostrar y se desespera por ello. Ciertamente curioso.


Gödel from Igor Kramer on Vimeo.

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Politopos en la cuarta dimensión

$ Esta última semana he recordado una conferencia a la que asistí hace unos años que me dejó bastante perplejo., la titulaban "Poliedros y politopos"; básicamente buscaban responder preguntas sobre politopos regulares en cualquier dimensión. Me sorprendió sobre todo el material gráfico que mostraron a la audiencia, hasta entonces me resultaba extraño pensar que se podía representar de forma tan natural figuras en dimensiones que ni siquiera podemos imaginar; todo esto complementado con experimentos sencillitos con papel y tijeras para ayudarnos a visual algunas explicaciones sin entrar en ecuaciones para las que aun no estábamos preparados (tampoco se si lo estoy ahora). La pregunta principal que intentaban responder era cuántas caras podría tener un politopo regular, y cuántos existen en cada dimensión. Curiosamente la pregunta tiene respuesta y demostración, aunque no escribo la entrada para mostrarla, sino más bien para detenerme un poco en las curiosidades que ya solamente presentan estas figuras en la cuarta dimensión, cosa que suele crear bastantes dolores de cabeza a la mayoría de la gente cuando intentan imaginarlo.$
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Primero que nada hay que entenderse bien. Todos conocemos el concepto de polígono, cualquier figura formada por 3 o mas segmentos (evidentemente rectos), es un polígono, cada lado tiene una longitud y forman angulos, si todos los lados son iguales y también los ángulos tenemos un polígono regular, con infinitos ejemplos conocidos: el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentagono... Claramente vemos que estos polígonos regulares pueden tener cuantos lados queramos a medida que nos aproximamos a la circunferencia, por lo tanto no merece la pena preocuparse por estos. El mismo concepto aplicado a los sólidos de 3 dimensiones (poliedros) toma resultados distintos. Un poliedro está formado por polígonos conectados en la tercera dimensión, los lados comunes pasan a formar las aristas, y cada polígono es una cara. Cuando el poliedro esta formado únicamente por polígonos regulares entonces tenemos un poliedro regular. Si bien es cierto que el límite para formar poliedros es nuestra imaginación, los poliedros regulares son solo 5, y no pueden haber más. Todo poliedro regular se somete al teorema de Euler: caras + vértices =  aristas + 2, por ejemplo el cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. De esta fórmula se llega a la demostración matemática de que solamente hay 5, pero para no aburrir a los pocos lectores que pueda tener, hay una explicación más simple con un poco de imaginación, o en su defecto papel y tijeras.

Sólidos platónicos

Para formar poliedros regulares hemos de partir de polígonos regulares. Para la primera forma tomamos tres triángulos, (con menos no hacemos nada), los colocamos en el plano y juntamos sus vértices. Vemos que queda hueco entre ellos. Pegado el vértice tenemos que juntar los lados para formar las aristas, para ello usamos la tercera dimensión; sin despegar el vértice bajamos los triángulos y hacemos coincidir las aristas, la forma del tetraedro ya es evidente, a falta de pegarle el cuarto triángulo en el hueco que se ha formado abajo. Podemos hacer exactamente lo mismo para formar el cubo juntando tres cuadrados por el vértice y aprovechando el hueco que queda entre ellos para descender en la tercera dimensión, para llenar el hueco usamos otra pieza igual y tenemos así sus 6 caras. Para el octaedro tenemos que usar 4 triángulos, pegandole la pieza de abajo tenemos 8 caras triangulares. Hacemos lo mismo con el pentágono y tenemos una pieza que tenemos que completar con 4 iguales a esa, 12 caras, el dodecaedro. Un caso similar pasa al usar 5 triángulos (todavía tenemos espacio entre ellos), 4 piezas forman el icosaedro, 20 caras. Ya tenemos los 5, y podemos imaginarnos el por qué no podemos formar más. Si intentamos usar 6 triángulos nos daríamos cuenta de que ya no nos queda espacio para bajar y juntar las aristas, ya están juntas en el plano. El ángulo interior del triángulo equilátero tiene 60º, si usamos 6 de esos llenamos los 360º. Lo mismo nos pasa si juntamos 4 cuadrados por el vértice, ángulos de 90º. Si lo intentamos con más pentágonos (108º) ni siquiera nos queda ángulo para juntar los 4, y sobra decir ya que 3 hexágonos no te permiten juntar ni el primer vértice. De esta forma se hace evidente que no hay posibilidades de formar más poliedros a partir de solamente polígonos regulares.
Estos 5 poliedros son los llamados Sólidos Platónicos. En Grecia pensaban que tenían propiedades místicas y asociaban a ellos los 4 elementos dejando la magnificencia del cosmos para el dodecaedro; los griegos casi veneraban al pentágono y sus propiedades. Años más tarde el atronomo Kepler llegó a afirmar que al encajar cada solido dentro del otro se obtenían las órbitas de los planetas alrededor del Sol, algo bastante descabellado pero nada se le puede reprochar a uno de los padres de esa ciencia. Por otro lado si algún lector está familiarizado con los juegos de rol habrá visto que son exactamente los dados empleados habitualmente. Los geometras suelen también estudiar los denominados poliedros semiregulares, formados por polígonos regulares pero no necesariamente todos iguales. Algunos los obtienen cortando estos 5, el más famoso de ellos es el llamado icosaedro truncado, y es famoso porque todos los fines de semana en todas partes del mundo hay 22 hombres persiguiendo y pateando uno.

Bueno pues es hora de dar el salto a la cuarta dimensión. Siguiendo el mismo razonamiento matemático no debería ser difícil de imaginar el proceso. Evidentemente el truquito de juntar los vértices ya no podemos usarlo, pero solamente hay que tener presente que se van a formar los politopos a partir de los sólidos platónicos. Un politopo viene a ser cualquier poliedro de más de tres dimensiones, yo sólo me voy a fijar en los de 4.

Mucho antes de que pudiéramos ver las representaciones tridimensionales que tenemos hoy hubo una mujer que fue capaz de estudiar los politopos en su mente, Alicia Boole Stott. Dicen que tenía una capacidad de abstracción impresionante, y era capaz de visualizar como nadie 4 dimensiones. Suyo es el concepto de politopo y junto con otros matemáticos de la epoca (ella era aficionada) desarrollaron una parte muy importante de la geometría n-dimensional. Empleaban varias técnicas para poder visualizar los politopos.
Nosotros podemos desarmar un cubo y estirarlo en una hoja de papel, de niños casi todos lo habremos hecho, esa forma plana del cubo es el desarrollo del cubo, y se puede hacer con cualquier sólido. Exactamente lo mismo se puede hacer con un politopo, se puede desdoblar para estirarlo en 3 dimensiones, el Cristo de Dali muestra lo que sería exactamente el desarrollo del hipercubo, se ve claramente que el hipercubo esta formado entonces por 8 cubos tridimensionales; plegados en la cuarta dimensión los 8 cubos estarían encajados perfectamente entre si sin atravesarse a si mismos ni deformarse, como necesariamente los tenemos que representar nosotros.
Otra técnica de estudio suele ser intersecar el politopo con un espacio tridimensional. Para hacernos una idea, sería como tomar un sólido, digamos una naranja y realizarle un corte transversal, sacando así un espacio plano circular, cada corte de 2 dimensiones es diferente y teniendo todos, o una parte relevante se puede deducir la forma de la naranja. Exactamente lo mismo puede hacerse con politopos de 4 dimensiones, con la diferencia de que el corte obtenido tiene tres dimensiones, y da lugar a algo con lo que podemos jugar.
Por último, y es una técnica muy empleada hoy para la visualización es la proyección tridimensional. Si nos imaginamos el esqueleto de un cubo y lo ponemos a la luz, proyectara una sombra sobre el papel, podemos dibujarla perfectamente, y seguramente todos lo hemos hecho alguna vez. Todos entendemos como es un cubo al dibujarlo, por nuestro conocimiento de las 3 dimensiones, pero ese cubo sobre el papel tiene 2 dimensiones. Deformamos los cuadrados de los que está formado para darle la perspectiva, objetivamente las lineas dibujadas se cruzan entre si, no forman ángulos rectos, pero no importa, sabemos lo que es. Si hacemos lo mismo con un politopo, éste arrojara una proyección (sombra) de 3 dimensiones. Ésta es quizás la forma que nos resulta más cómoda para imaginarlos.

6 son los politopos de 4 dimensiones, todos ellos compuestos de sólidos platónicos y polígonos regulares. A cada uno de ellos se le relaciona con el numero de celdas de las que está compuesto, cada celda se define como el politopo de dimensión anterior de los que está formado. Se hace esta convención para poder llevar la definición a cualquier dimensión.

Pentácoron

El pentácoron esta formado de triángulos y tetraedros (5 celdas) y es el politopo más simple en 4 dimensiones, cosa que se agradece, viendo la magnitud de sus hermanos mayores. En la animación se pueden apreciar los tetraedros, por supuesto deformes, tal y como pasa con el cubo dibujado.










El hipercubo o tesseracto es la evolución del cubo, formado por 8 de estos. Puede que sea el politopo más conocido, incluso hay varios monumentos en el mundo que imitan su forma. Puse una animación suya en una entrada anterior.

El hexadecacoron, también llamado 16-cell esta formado también por triángulos y tetraedros, aunque guarda también relación con el octaedro, aunque es algo más dificil de ver.

El Icositetracoron, o 24-cell es el único sin análogo tridimensional lo que le da una forma bastante curiosa, digamos que cuesta relacionarlo con algún solido conocido, se distinguen claramente los triángulos, aunque tambien se le relaciona con el cubo y el  octaedro.

El hecatonicosacoron (120-cell), el Saturno de los politopos, por lo grande más que nada, 120 celdas con forma de dodecaedro; relacionado también con el tetraedro Una delicia para los pitagóricos, y complicadisimo de seguir, pero con atención se distinguen los dodecaedros. Es quizás mi favorito.














El hexacosicoron (600-cell), el gigante. He de decir que la animación impresiona menos que otras que he visto. Esta formado por 600 tetraedros y 1200 triángulos, y a su vez se distinguen icosaedros de forma más indirecta, es quizás una relación similar a la del triángulo con el hexágono.








La demostración matemática de por qué solamente existen estos 6 no es complicada pero tampoco creo que interese, y tampoco dispongo de algún razonamiento como el de los ángulos, aunque sin duda podría existir un análogo. Curiosamente a partir de la cuarta dimensión los politopos regulares posibles son solo 3 en cada una de las dimensiones mayores a 4. Todos estos politopos proyectados en 3 dimensiones también se pueden proyectar en dos, si colocas todos sus vértices en el papel puedes unir todos como corresponde si sabes como hacerlo, el resultado (y los he visto) no es muy aclaratorio, por lo menos para una mente normal.

Como ultima curiosidad puedo decir que el problema de los ángulos que nos restringía la formación de los poliedros regulares puede ignorarse si uno quiere; si levantamos la restricción que nos impone la geometría euclidiana podemos conseguir más espacio para formar poliedros, pero nos curvaríamos hacia el espacio hiperbólico, y esa es otra historia.

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La religión y los memes

Los que me conocen se habrán extrañado que haya tardado tanto en publicar sobre la religión, ya que siempre me he mostrado abiertamente crítico con este tema desde mi profundo ateísmo. Sin embargo no quería publicar aquí la típica muestra de animadversión general que se suele ver, principalmente atendiendo a temas como la pederastia, la financiación, o el fanatismo; mi intención es intentar ser un poco más analítico aprovechando la teoría memética que ha salido de la mente de Richard Dawkins.

Para los que no estén familiarizados con el concepto de meme (dejando claro que poco tiene que ver con las populares viñetas que se ven por Internet) intentaré explicarlo de la manera más simple que pueda.
Esta teoría la popularizó Richard Dawkins en su libro "El Gen Egoísta" donde habla de la evolución de las especies desde el punto de vista de los genes como unidad fundamental del proceso evolutivo, haciendo hincapié en el replicante, el gen que se copia a si mismo con gran exactitud casi siempre, y en ese casi esta la clave de la evolución. El término meme nace intentando representar la unidad mínima de información cultural que se transmite entre las personas, ideas que son replicadas y cuyas leves mutaciones durante la transmision han causado la evolución de las diferentes culturas en la historia. La analogía de los memes con los genes es inevitable, pero no evidente; al no poder estudiar estos conceptos de forma tangible hay científicos que han descartado la teoría, sin embargo recibe mucho apoyo por parte de otros; a dia de hoy se trabaja en los modelos matemáticos que consigan dar explicaciones al desarrollo de las culturas humanas a lo largo de la historia, y como no puedan realizar predicciones de evolución.
Para no entrar en temas técnicos podemos ver a los memes como ideas fundamentales, conceptos primigenios, virus de información que en compañía de otros memes llegan a desarrollar pensamientos reales en nuestro cerebro, pensamientos con los que somos capaces de infectar a nuestros hijos, o a nuestros alumnos, o incluso a la gente que nos rodea. El abanico de ideas por supuesto es infinito, desde los dogmas o principios religiosos hasta las bases del comunismo, pasando por cosas simples como la forma de hacer una avión de papel. En las cosas simples vemos la evidencia de mutación: una idea que en nuestro cerebro encuentra un entorno hostil acaba siendo descartada, pero una idea acompañada de otras que se adapten a ella sobrevive, y posiblemente se transmita; esta transmisión puede ser fiel a su original, o haber mutado. Las mutaciones pueden haber sido provechosas para que la idea sobreviva en otro cerebro, o puede haber sido perjudicial para su propia existencia, o simplemente puede pasar que caiga en un entorno hostil.
Debemos pensar que un entorno hostil puede referirse tanto a la persona que porta las ideas como a la cultura donde crece esa persona. La supervivencia de un meme no pasa por permanecer mucho tiempo en la cabeza de una persona, sino por ser transmitida a otra persona con la mayor exactitud que se pueda, o con aquellas alteraciones la hagan más adaptable a su entorno sin perder el concepto original.
Sin ninguna duda el proceso de infección memético sucede durante los primeros años de educación, recibimos influencias inevitables de nuestros padres y entorno, desarrollamos nuestros primeros conceptos sobre el bien y el mal, y nuestros profesores nos bombardean con enseñanzas que atrapamos en mayor o menor grado. Es sin duda para mi la etapa más importante, no porque lo sean los conocimientos adquiridos, sino porque desarrollaremos el futuro entorno personal donde se alojarán las ideas que vendrán el resto de nuestra vida, y es algo realmente difícil de alterar cuando uno es ya maduro. Es en esta etapa donde generalmente se reciben las ideas religiosas, memes del tipo más peligroso, ya que son capaces de hacernos llegar a comportamientos ilógicos, atentar contra nuestra vida o la de los demás, incluso han sido capaces de hacernos justificar la crueldad.

A las futuras generaciones les resultará difícil imaginar cómo fue posible que las ideas religiosas hayan sobrevivido tanto tiempo, y sobre todo que se hayan defendido aún en tiempos donde el conocimiento ha alcanzado cotas suficientes como para que todas esas ideas fueran descartadas. Para mi esperanza he de decir que cuento con el final de estas ideas (por lo menos en su forma masiva), pensando en que el entorno hostil que se va creando poco a poco acabará por frenar la mímesis constante de la ideas que hemos vivido hasta ahora.
Si analizamos la historia de todas las supersticiones y religiones que han surgido, no nos es difícil imaginar de donde fueron saliendo, respondían a preguntas para las que no habían respuestas, como los desastres de tipo volcánico o climático, y también otorgaban galones de sabiduría a los que decían estar más en contacto que el resto con las deidades dueñas de sus fenómenos inexplicables. Durante las generaciones posteriores estos memes religiosos primitivos se replicaron  y sobrevivieron renovándose y tomando formas distintas, lo que aterra es que llega un momento en el que ya nadie se pregunta de donde salieron esas deidades, las explicaciones que justificaban su nacimiento llegan y aunque las preguntas anteriores hayan sido respondidas las deidades siguen ahí. Este fenómeno me recuerda mucho al experimento de los monos, que no explicaré ahora, pero podéis leerlo aqui. Podemos justificar la longevidad pensando en su utilidad como método de control por parte de gobernantes y padres, cualquiera haría lo que se le pidiera si supiera que negarse significa que Apolo vendría a castigarnos duramente. Este tipo de cosas generaron también esa idea individualista de que las deidades te miran solo a ti y les importa lo que haces, naturalmente esta idea fue justificada posteriormente introduciendo el concepto de omnipresencia. Con el pasar de los tiempos se fueron rellenando vacíos, como evidentemente nadie pudo conocer a ninguna deidad, se le otorgaban rasgos humanos, vicios y virtudes o por supuesto la capacidad de amar u odiar, naturalmente nos ama a nosotros y odia a nuestros enemigos.También se generaban a su alrededor historias y mitologías, un pasado misterioso que justifica su personalidad y conviene de sobremanera (como no) a la figura de poder de turno.
De todas formas los memes sobre religiones politeistas no solían ser incompatibles con otras, aceptada la idea de inmortalidad del espíritu y de seres superiores, se podía aceptar la existencia de deidades ajenas que cuidaban de otros pueblos, amigos o enemigos. No fue hasta la llegada del judaismo que la idea del dios único se hizo presente de forma importante y llego al conflicto con otras religiones politeistas más poderosas. Finalmente esta idea monoteista fue alcanzada por los cristianos y más tarde por los mahometanos. Ciertamente la cristiana fue la que encontró el mejor método de expansión, difuminando sus memes por la clase más pobre hasta alcanzar un nivel de masividad que le permitiera alcanzar sus primeras posiciones de poder. Naturalmente sobra decir que los memes cristianos consiguieron extenderse allá por donde se extendía roma. La historia a partir de aquí es ya bastante conocida, casi 2000 años de difusión hasta nuestros días, pasando por la reforma que permitió la creación de nuevas versiones.

Cuando afirmo que los memes religiosos son del tipo peligroso la gente no atea tiende a escandalizarse, y es que a los religiosos se les da muy bien encontrar justificaciones e ignorar evidencias. La edad media es la mejor evidencia de el tipo de comportamiento que son capaces de provocar estas ideas arcaicas, justifican el morir, el matar, o el torturar, te convencen de que la sumisión es una virtud y que cuestionar los principios es un pecado duramente castigado; además aprovechan la idea también arraigada de la inmortalidad para estirar tu condena hasta la eternidad, de la cual evidentemente no puedes escapar. ¿Cómo es posible que estos memes no se vean afectados por el ambiente hostil de la actualidad en la era de la información y las evidencias científicas? Claramente durante la historia de la religión cristiana (principalmente) se han desmontado todas sus afirmaciones y se han ido adaptando como han podido a los avances de la investigación, desde la aceptación de la teoría heliocentrica hasta la teoría de la evolución de Darwin, pero perseveran aun en cosas que no les hacen quedar demasiado mal. Las crueldades cometidas durante la edad media no han sido suficientes para cuestionar la credibilidad de la iglesia cristiana y hoy en día una evidencia del peligro del fanatismo como el terrorismo islámico tampoco parece afectar demasiado a los memes. Si uno profundiza realmente en el tema cuesta encontrar una justificación real para su perseverancia.
Todavía me encuentro con gente que afirma que el ser humano necesita creer en algo; a mi me da la impresión que la idea de la inmortalidad está tan arraigada en nuestros cerebros que hay gente que no concibe la posibilidad de que no vivir eternamente, y seguramente la explicación a esto la encontramos en nuestra infancia. Desgraciadamente la superstición sigue siendo un método de control, muchos padres no encuentran mejor forma de provocar el buen comportamiento que introduciendo el miedo a dios, o el miedo a que un gordo que aparece en los anuncios de coca cola nos niegue el regalo que tanto ansiamos y que supondrá nuestro éxito ante los demás niños. Replicamos memes negativos apropósito. Creamos una falsa idea del éxito en la vida que se perpetuara hasta nuestro lecho de muerte, y lo peor de todo es que luego nuestros hijos lo replicarán cuando se vean en la misma falta de control. Este entorno mal creado finalmente acaba por ser un entorno apropiado para que se puedan desarrollar ideas supersticiosas, a menos que sea contrarrestado, y menos mal, hoy en día lo es en una gran parte del mundo, sin embargo queda aun mucho mundo donde eso pasa.

Hoy en día divulgadores importantes como Richard Dawkins, Daniel Dennet o el recientamente difunto Christopher Hitchens se ven como enemigos de la moral porque levantan una bandera en contra de las religiones, sin embargo la misión divulgativa me parece importante. No hay que dejar que se tapen los escándalos religiosos, ni permitir que continúen en posiciones de pode, pero para mi, sobre todas las cosas, tenemos que intentar no repetir los errores cometidos por generaciones anteriores en materia de educación, intentar no imponer memes peligrosos en el subconsciente de los niños, independientemente de que en el futuro decidan por su cuenta abrazar una religión. Somos responsables de la transmisión o no transmisión de las ideas, y no es una responsabilidad fácil, pero si muy importante.

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